Definiciones Clave en Cálculo Multivariable y Optimización de Funciones

Conceptos Fundamentales en Cálculo Multivariable y Optimización

Este documento presenta una recopilación de definiciones y teoremas esenciales en el ámbito del cálculo multivariable, abarcando desde puntos críticos y extremos de funciones hasta propiedades topológicas de conjuntos en Rⁿ.

Definiciones de Puntos Extremos y Críticos

Punto Crítico

Sean A un abierto de Rⁿ y f una función de A en R con derivadas parciales en un punto a ∈ A. Si D_if(a) = 0 para i = 1, 2, ..., n, se dice que a es un punto crítico de f.

Máximo Relativo

Se dice que f alcanza un máximo relativo en a ∈ A si existe una bola, B(a, r), tal que f(x) ≤ f(a) para cada x ∈ A ∩ B(a, r). Si se verifica que f(x) < f(a) para cada x ∈ (A ∩ B(a, r)) \ {a}, se dice que el máximo es estricto.

Mínimo Relativo

Se dice que f alcanza un mínimo relativo en a ∈ A si existe una bola, B(a, r), tal que f(x) ≥ f(a) para cada x ∈ A ∩ B(a, r). Si se verifica que f(x) > f(a) para cada x ∈ (A ∩ B(a, r)) \ {a}, se dice que el mínimo es estricto.

Punto de Silla

Se dice que f alcanza un punto de silla (o ensilladura) en a ∈ A si para toda bola B(a, r), existen puntos x₁ ∈ A ∩ B(a, r) con f(x₁) > f(a) y puntos x₂ ∈ A ∩ B(a, r) con f(x₂) < f(a).

Condiciones de Diferenciabilidad

Condición Suficiente de Diferenciabilidad

Sea A un abierto de R², f : A → R y (a₁, a₂) ∈ A. Si existen las derivadas parciales de f(x, y) en el punto (a₁, a₂) y al menos una de ellas es continua en dicho punto, entonces f(x, y) es diferenciable en (a₁, a₂).

Condición Necesaria de Diferenciabilidad (Continuidad)

Sean A un abierto de R², f : A → R y (a₁, a₂) un punto de A. Si la función f es diferenciable en (a₁, a₂), entonces es continua en este punto.

Condición Necesaria de Diferenciabilidad (Existencia de Derivadas Parciales)

Sean A un abierto de R² y f : A → R. Si f es diferenciable en (a₁, a₂) ∈ A y su diferencial es df = ah + bk (donde h y k son incrementos en x e y respectivamente), entonces existen las derivadas parciales de f en el punto (a₁, a₂).

Teoremas Fundamentales

Teorema de Weierstrass

Sean X un subconjunto compacto de Rⁿ y f : X → R una función continua. Entonces f alcanza un mínimo y un máximo en X, es decir, existen x₀, x₁ ∈ X tales que f(x₀) ≤ f(x) ≤ f(x₁) para todo x de X.

Relación entre Límites Reiterados y Límite de la Función

Lo expuesto hasta ahora solo nos sirve para afirmar que, o bien no existe el límite doble, o bien, si existe, su valor debe ser l. Por eso, enunciaremos un criterio que nos permita asegurar, si el candidato al límite sugerido por los métodos anteriores es realmente el límite doble.

• Si existen los límites reiterados, pero son distintos, entonces no existe el límite doble.
• Puede existir el límite doble y no existir alguno (o ninguno) de los límites reiterados.
• Si existe uno de los límites reiterados, el límite doble, en caso de existir, coincidirá con él.

Conceptos Topológicos en Rⁿ

Entorno Esférico

Un entorno esférico de un punto x ∈ Rⁿ es cualquier bola abierta B(x, r) de centro x. A los entornos esféricos los denominaremos simplemente entornos y al entorno de x, lo designaremos por U(x) sin hacer referencia al radio de la bola, si no es necesario por algún motivo.

Entorno Reducido

Sea r un número real cualquiera. Se denomina entorno reducido de x al conjunto U*(x) = B(x, r) \ {x}.

Conjunto Abierto

Un conjunto A es abierto si y solo si para todo x ∈ A, existe un entorno U(x) contenido en A. No sería abierto si existiese en él algún x para el cual no existe U(x) tal que U(x) ⊂ A.

Conjunto Cerrado

Se dice que un subconjunto A es cerrado cuando su complementario Rⁿ \ A es abierto.

Conjunto Acotado

Se dice que un subconjunto A es acotado cuando está contenido en una bola de radio finito.

Conjunto Compacto

Un conjunto A ⊂ Rⁿ es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Todo conjunto infinito y acotado A ⊂ Rⁿ tiene al menos un punto de acumulación.

Funciones Reales de n Variables (Campos Escalares):

Una función f : X → R, donde X ⊂ Rⁿ, se define como:

x = (x₁, x₂, ..., x_n) → y = f(x)

A estas funciones se las conoce como funciones reales de n variables o campos escalares.