Definiciones Esenciales de Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales, Matrices y Transformaciones

Definición 23: Sistema Generador y Espacio Finitamente Generado

Sea E un espacio vectorial sobre K. Diremos que un subconjunto A ⊆ E es un sistema generador de E si L(A) = E.

E es un espacio finitamente generado si posee un sistema generador finito.

Definición 35: Rango de una Matriz

Dada una matriz A ∈ M_m×n(K), llamaremos rango de A al número de unos principales (pivotes) de la forma escalonada reducida por filas de la matriz A, y lo denotaremos por ρ(A).

Definición 45: Matriz No Singular (Invertible)

Sea A = (a_ij) ∈ M_n×n(K). Diremos que A es una matriz no singular (o invertible) si existe una matriz B ∈ M_n×n(K) tal que AB = I_n×n = BA.

Definición 19: Dependencia Lineal

Sea E un espacio vectorial sobre K y sea A un subconjunto no vacío de vectores de E. Diremos que A es linealmente dependiente (LD) si existen vectores distintos x₁, x₂, ..., x_k ∈ A y escalares α₁, α₂, ..., α_k ∈ K, no todos nulos, tales que α₁x₁ + α₂x₂ + ··· + α_kx_k = 0.

Definición 45: Matriz No Singular (Invertible)

Sea A = (a_ij) ∈ M_n×n(K). Diremos que A es una matriz no singular (o invertible) si existe una matriz B ∈ M_n×n(K) tal que AB = I_n×n = BA.

Definición 16: Combinación Lineal y Envoltura Lineal

Sea E un espacio vectorial sobre K y A un subconjunto no vacío de E. Diremos que un vector x ∈ E es una combinación lineal de los vectores de A si x = α₁x₁ + α₂x₂ + ··· + α_kx_k, donde α₁, ..., α_k ∈ K y x₁, ..., x_k ∈ A.

Se llama envoltura lineal (o subespacio generado) de A al conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores de A, y lo denotaremos por L(A) (o Span(A)).

Definición 6: Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea T: E → F una aplicación lineal.

• Se llama núcleo (o kernel) de T al conjunto de vectores de E cuya imagen es el vector nulo de F. Se denota N(T) o Ker(T):
  N(T) = { x ∈ E : T(x) = 0_F }
• Se llama imagen de T al conjunto de vectores de F que son imagen mediante T de algún vector de E. Se denota Im(T):
  Im(T) = { y ∈ F : ∃ x ∈ E tal que T(x) = y }
  o, equivalentemente,
  Im(T) = T(E) = { T(x) : x ∈ E }

Definición 29: Matrices Equivalentes

Sean A, B ∈ M_m×n(K). Diremos que A es equivalente a B si existen matrices no singulares P ∈ M_m×m(K) y Q ∈ M_n×n(K) tales que P A Q = B.

Un caso particular importante de equivalencia de matrices ocurre cuando m = n y Q = P^-1:

Definición 30: Matrices Similares (Semejantes)

Sean A, B ∈ M_n×n(K). Diremos que A es similar (o semejante) a B si existe una matriz no singular P ∈ M_n×n(K) tal que P A P^-1 = B.