Demostración de Compacidad, Variedad Diferenciable y Extremos Absolutos en R³

Demostración de Compacidad de M en R³

Verificación de que M es Acotado

Sea (x, y, z) ∈ M. La norma de (x, y, z) es ||(x, y, z)|| = √(x² + y² + z²) = r. Como la norma es igual a r, el subconjunto M es acotado.

Verificación de que M es Cerrado

Para demostrar que M es cerrado, necesitamos encontrar una aplicación continua tal que la imagen inversa de un conjunto cerrado sea un conjunto cerrado. Consideremos la función g. Tenemos que g^-1({0}) = M, lo que prueba que M es un conjunto cerrado.

Teorema de la Función Inversa

Por el teorema de la función inversa, si f es una función de clase C¹, entonces f posee una función inversa local de clase C¹. En otras palabras, para cada punto (x, y, z) ∈ R³, existe un entorno abierto U del punto (x, y, z) y un entorno abierto V de g(x, y, z) en R³ tal que g(U) = V. La función g|_U: U → V tiene una función inversa (g|_U)^-1: V → U de clase C¹ en U, y se verifica que Dg^-1(g(x, y, z)) = [Dg(x, y, z)]^-1 para todo punto (x, y, z) ∈ U. Matricialmente, esta igualdad se expresa como (g^-1)'(g(x, y, z)) = [g'(x, y, z)]^-1 para todo (x, y, z) ∈ U.

Comprobación de que M es una Variedad Diferenciable

Sea g: R³ → R dada por g(x, y, z) = x² + y² + z² - 4, ∀(x, y, z) ∈ R³.

Claramente, g ∈ C^∞. La derivada de g es g'(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), ∀(x, y, z) ∈ R³.

Probemos que M = {(x, y, z) ∈ R³: g(x, y, z) = 0; rg(g'(x, y, z)) = 1}.

Sea (x, y, z) ∈ R³ tal que g(x, y, z) = 0. Entonces, x² + y² + z² = 4. Por lo tanto, cualquier punto que cumpla g(x, y, z) = 0 también pertenece a M.

Sea (x, y, z) ∈ M. Entonces x² + y² + z² = 4, y por lo tanto, (x, y, z) también pertenece al conjunto definido por g(x, y, z) = 0.

Sabemos que rg(g'(x, y, z)) ∈ {0, 1}.

Supongamos que rg(g'(x, y, z)) = 0. Entonces, 2x = 2y = 2z = 0, lo que implica (x, y, z) = (0, 0, 0). Pero (0, 0, 0) ∉ M. Por lo tanto, rg(g'(x, y, z)) = 1.

Queda demostrado que M es una variedad diferenciable en R³.

Determinación de los Extremos Absolutos de f sobre M

Por el teorema de Weierstrass, dado que f es continua sobre el compacto M, podemos afirmar que f posee máximos y mínimos absolutos en M. Sean (x, y, z) y (x', y', z') dichos extremos. Por la regla de los multiplicadores de Lagrange, como f ∈ C¹(R³, R) y M es una variedad diferenciable compacta, estos extremos serán puntos críticos de la función auxiliar de Lagrange F sobre M. Sea B = {P1, P2} el conjunto de puntos críticos.

Además, se tiene que min f(B) = min f(M) y max f(M) = max f(B).