Demostraciones Geométricas: Rectángulos, Rombos y Cuadrados

Escrito el 21 de Septiembre de 2025 en español con un tamaño de 11,91 KB

Demostraciones Fundamentales de Figuras Geométricas

A continuación, se presentan una serie de demostraciones y deducciones basadas en propiedades geométricas de diversas figuras.

Sección 1: Propiedades del Rectángulo

1.1. Demostración de Propiedades del Rectángulo ABCD

1. ABCD es un rectángulo. (Dado)
2. ABCD es un paralelogramo. (Definición de rectángulo)
3. DA ≅ CB. (Propiedad de los paralelogramos)
4. AB ≅ AB. (Propiedad reflexiva)
5. Los ángulos ∠A, ∠B, ∠C, ∠D miden 90°. (Definición de rectángulo)
6. ∠A ≅ ∠B ≅ ∠C ≅ ∠D. (Definición de ángulos rectos)
7. △DAB ≅ △CAB. (Postulado LAL - Lado-Ángulo-Lado)
8. ∠CAB ≅ ∠DBA. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)
9. AO ≅ BO. (Propiedad de las diagonales de un rectángulo, donde O es el punto de intersección)
10. △AOB es isósceles. (Definición de triángulo isósceles)

Sección 2: Propiedades del Rombo

2.1. Demostración de Propiedades del Rombo WXYZ

1. WXYZ es un rombo; R es el punto medio de WV; T es el punto medio de VY; S es un punto sobre VZ. (Dado)
2. WXYZ es un paralelogramo. (Definición de rombo)
3. WX ≅ YZ. (Propiedad de los rombos, lados opuestos iguales)
4. WX || YZ. (Definición de paralelogramo)
5. ∠1 ≅ ∠2; ∠3 ≅ ∠4. (Alternating interior angles - Alt int)
6. △WXV ≅ △YZV. (Postulado ALA - Ángulo-Lado-Ángulo)
7. WV ≅ VY. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)
8. WX ≅ RV; VT ≅ TY. (Definición de punto medio)
9. mW V = mVY; m WR = m RV; m VT = m TY. (Definición de segmento igual)
10. mWR + mRV = MWV; mVT + mTY = mVY. (Suma de segmentos)
11. mWR + mRV = mVT + mTY. (Sustitución)
12. 2mRV = 2mVT; mRV = mVT. (Sustitución y operaciones)
13. RV ≅ VT. (Definición de segmento igual)
14. WY ≅ ZX. (Propiedad de las diagonales de un rombo - 8.10)
15. ∠5 ≅ ∠6. (Definición de ángulo)
16. ∠5 ≅ ∠6. (Definición de ángulo recto)
17. SV ≅ SV. (Propiedad reflexiva)
18. △RSV ≅ △TSV. (Postulado LAL)
19. RS ≅ AT. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)
20. △RST es isósceles. (Definición de triángulo isósceles)

Sección 3: Propiedades del Cuadrado y Figuras Relacionadas

3.1. Demostración de Propiedades del Cuadrado ABCD con segmentos iguales AH, DG, CF, BE

1. ABCD es un cuadrado; AH = DG = CF = BE. (Dado)
2. ABCD es un rectángulo. (Definición de cuadrado)
3. Los ángulos ∠A, ∠B, ∠C, ∠D son rectos. (Definición de rectángulo)
4. ∠A ≅ ∠B ≅ ∠C ≅ ∠D. (Definición de ángulos rectos)
5. AH ≅ EB ≅ FC ≅ GD. (Definición de segmento igual)
6. AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA. (Definición de cuadrado)
7. mAB = mBC = mCD = mDA. (Definición de segmento igual)
8. mAB - mEB = mBC - mFC = mCD - mGD = mDA - mHA. (Resta de igualdades)
9. mAE = mBF = mCG = mDH. (Resta de segmentos iguales)
10. AE ≅ BF ≅ CG ≅ DH. (Definición de segmento igual)
11. △HAE ≅ △EBF ≅ △FCG ≅ △GDH. (Postulado LAL)
12. HE ≅ EF ≅ FG ≅ GH. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)
13. ∠1 ≅ ∠2 ≅ ∠3 ≅ ∠4 ≅ ∠5 ≅ ∠6 ≅ ∠7 ≅ ∠8. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)
14. m∠1 = m∠3 = m∠5 = m∠7; m∠2 = m∠4 = m∠6 = m∠8; m∠A = m∠B = m∠C = m∠D. (Definición de ángulo igual)
15. m∠A + m∠2 + m∠3 = 180°; m∠B + m∠4 + m∠5 = 180°; m∠C + m∠6 + m∠7 = 180°; m∠D + m∠8 + m∠1 = 180°. (Suma de ángulos en un triángulo - 6.4)
16. m∠2 + m∠3 = 90°; m∠4 + m∠5 = 90°; m∠6 + m∠7 = 90°; m∠8 + m∠1 = 90°. (Sustitución y operaciones)
17. m∠4 + m∠3 = 90°; m∠6 + m∠5 = 90°; m∠8 + m∠7 = 90°; m∠2 + m∠1 = 90°. (Sustitución)
18. m∠4 + m∠3 + m∠10 = 180°; m∠6 + m∠5 + m∠11 = 180°; m∠8 + m∠7 + m∠12 = 180°; m∠2 + m∠1 + m∠8 = 180°. (Definición de ángulo llano)
19. m∠10 = 90°; m∠11 = 90°; m∠12 = 90°; m∠9 = 90°. (Sustitución y operaciones)
20. ∠10, ∠11, ∠12, ∠9 son rectos. (Definición de ángulo recto)
21. EFGH es un rectángulo. (Definición de rectángulo)
22. EFGH es un cuadrado. (Definición de cuadrado)

Sección 4: Propiedades de Trapecios

4.1. Demostración de Propiedades en un Trapecio ABCD con AB || CD

1. ABCD es un trapecio con AB || CD. P está sobre DC de manera que AP es perpendicular a DC. (Dado)
2. ∠1 ≅ ∠2. (Definición de bisectriz)
3. ∠2 ≅ ∠3. (Alternating interior angles - Alt int)
4. ∠1 ≅ ∠3. (Propiedad transitiva)
5. DP ≅ AD. (Propiedad de los lados opuestos en un triángulo isósceles - 6.3)
6. △ADP es isósceles. (Definición de triángulo isósceles)

4.2. Demostración de Propiedades en un Trapecio Isósceles ABCD

1. ABCD es un trapecio con AB || CD; AD ≅ BC; AC y BD se intersecan en E. (Dado)
2. AB ≅ AB. (Propiedad reflexiva)
3. ABCD es un trapecio isósceles. (Definición de trapecio isósceles)
4. DB ≅ CA. (Propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles)
5. ∠A ≅ ∠B. (Razón 4)
6. △ADB ≅ △AEB. (Postulado LAL)
7. ∠1 ≅ ∠2. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)
8. ∠1 ≅ ∠4; ∠2 ≅ ∠3. (Alternating interior angles - Alt int)
9. ∠3 ≅ ∠4. (Propiedad transitiva)
10. △CED es isósceles. (Definición de triángulo isósceles)

4.3. Demostración de Propiedades en un Trapecio ABCD con AB || CD y AE ≅ BE

1. ABCD es un trapecio con AB || CD y AE ≅ BE. (Dado)
2. △AEB es isósceles. (Definición de triángulo isósceles)
3. ∠1 ≅ ∠1. (6.1)
4. ∠1 ≅ ∠4; ∠2 ≅ ∠3. (Alternating interior angles - Alt int)
5. ∠3 ≅ ∠4. (Propiedad transitiva)
6. DF ≅ EC. (6.3)
7. ∠5 ≅ ∠6. (Ángulos verticales)
8. △DEA ≅ △CFB. (Postulado LAL)
9. AD ≅ BC. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTC)

4.4. Demostración de Propiedades en un Trapecio Isósceles ABCD con AB || CD

1. ABCD es un trapecio isósceles con AB || CD. (Dado)
2. Se trazan alturas DE y CF auxiliares, DE || AB; A, E, B colineales; CF auxiliar, CF || AB; A, F, B colineales. (Construcción auxiliar)
3. AD ≅ BC. (Definición de trapecio isósceles)
4. ∠E y ∠F son ángulos rectos. (Definición de ángulo recto)
5. ∠E ≅ ∠F. (Definición de ángulo recto)
6. m∠E + m∠F = 180°. (Suma de ángulos)
7. ∠E y ∠F son suplementarios. (Definición de ángulo suplementario)
8. DE || CF. (5.4)
9. DC || EF. (Definición de resta de paralelas)
10. CDEF es un paralelogramo. (Definición de paralelogramo)
11. DE ≅ CF. (8.2)
12. △DEA y △CFB son rectángulos. (Definición de triángulo rectángulo)
13. △DEA y △CFB son congruentes. (6.9 Hipotenusa-Cateto - HyC)
14. ∠1 ≅ ∠2. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)
15. ∠1 y ∠3 son suplementarios; ∠2 y ∠4 son suplementarios. (Par lineal)
16. ∠3 ≅ ∠4. (4.8 Suplementos de ángulos iguales son iguales)
17. AB ≅ AB. (Propiedad reflexiva)
18. △DAB ≅ △CBA. (Postulado LAL)
19. DB ≅ AC. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)

Sección 5: Propiedades del Cuadrado WXYZ y Segmentos Relacionados

5.1. Demostración de Propiedades del Cuadrado WXYZ con AW = BX = CY = DZ

1. WXYZ es un cuadrado; AW = BX = CY = DZ. (Dado)
2. WX ≅ XY ≅ YZ ≅ ZW. (Definición de cuadrado)
3. WXYZ es un rectángulo. (Definición de rectángulo)
4. Los ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 son rectos. (Definición de rectángulo)
5. ∠1 ≅ ∠2 ≅ ∠3 ≅ ∠4. (Definición de ángulo recto)
6. m∠1 = m∠2 = m∠3 = m∠4. (Definición de ángulo igual)
7. m∠1 + m∠5 = 180°; m∠2 + m∠6 = 180°; m∠3 + m∠7 = 180°; m∠4 + m∠8 = 180°. (Definición de ángulo llano)
8. m∠5 = 90°, m∠6 = 90°, m∠7 = 90°, m∠8 = 90°. (Sustitución)
9. m∠5 = m∠6 = m∠7 = m∠8. (Definición de ángulo recto)
10. ∠5 ≅ ∠6 ≅ ∠7 ≅ ∠8. (Definición de ángulo igual)
11. mWX = mXY = mYZ = Mzw. (Definición de segmento igual)
12. mWX + XB = mZW + mWA; mXY + Myc = mYZ + Mzd. (Suma de segmentos)
13. mWB = mYD = mZA = mXC. (Suma de segmentos iguales)
14. WB ≅ YD ≅ ZA ≅ XC; AW ≅ CY ≅ ZD ≅ XB. (Definición de segmento igual)
15. △ADZ ≅ △CXB ≅ △DYC ≅ △AWB. (Postulado LAL)
16. AD ≅ CD ≅ AB ≅ BC; ∠9 ≅ ∠10 ≅ ∠11 ≅ ∠12; ∠13 ≅ ∠14 ≅ ∠15 ≅ ∠16. (Consecuencia de triángulos congruentes - PCTCC)
17. m∠5 + m∠14 + m∠9 = 180°; m∠6 + m∠13 + m∠12 = 180°; m∠7 + m∠10 + m∠16 = 180°; m∠8 + m∠15 + m∠10 = 180°. (6.4)
18. m∠14 + m∠9 = 90°; m∠10 + m∠16 = 90°; m∠13 + m∠12 = 90°; m∠11 + m∠15 = 90°. (Sustitución y operaciones)
19. ∠14 + ∠9 ≅ ∠10 + ∠16 ≅ ∠11 + ∠15 ≅ ∠13 + ∠12. (Suma de ángulos - Sustitución)
20. ∠D ≅ ∠C ≅ ∠A ≅ ∠B. (Suma de ángulos)
21. ∠D ≅ ∠C ≅ ∠A ≅ ∠B = 90°. (Definición de ángulo recto)
22. ABCD es un rectángulo. (Definición de rectángulo)
23. ABCD es un cuadrado. (Definición de cuadrado)

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