Derivada e Continuidade dunha Función: Derivabilidade, Recta Tanxente e Optimización

Derivada dunha función nun punto

Definición

Derivada dunha función nun punto: Diremos que unha función é derivable no punto x = a cando existe o límite lim(h → 0) (f(a + h) - f(a)) / h e é un número real. Este número é a derivada de f en a e designarase por f'(a).

Equivalentemente:

f'(a) = lim(x → a) (f(x) - f(a)) / (x - a).

Representación xeométrica

Temos unha función y = f(x) e un punto A(a, f(a)). Consideramos un conxunto de puntos A₁, A₂, A₃, …, A_n, … que se aproximan ao punto A. Se os puntos A_i tenden a A, as rectas secantes AA₁, AA₂, …, AA_n, … vanse aproximando a unha recta t que coincide coa idea intuitiva da recta tanxente á gráfica da función no punto A.

Así, a recta tanxente a unha curva no punto A é a posición límite, se existe, das rectas secantes determinadas por A e A_n cando A_n se aproxima a A. As rectas secantes que pasan por A quedan completamente determinadas pola súa pendente, xa que o punto A é fixo.

Se A(a, f(a)) e A_i(x_i, f(x_i)) son as coordenadas de A e dun punto calquera A_i, a pendente da recta secante AA_i será:

m_i = (f(x_i) - f(a)) / (x_i - a).

Se os puntos A_i se aproximan a A entón as abscisas x_i tenderán ao punto a. Polo tanto, se chamamos m_t á pendente da recta tanxente en A, resulta:

m_t = lim(x_i → a) (f(x_i) - f(a)) / (x_i - a), que é a derivada da función f no punto x = a.

En consecuencia: a derivada da función f no punto x = a é a pendente da recta tanxente á gráfica de f no punto de abscisa x = a. É dicir, m_t = f'(a).

Ecuacións da recta tanxente e da recta normal

Desta maneira, a ecuación da recta tanxente á gráfica de f no punto (a, f(a)) será:

y - f(a) = f'(a) · (x - a).

E a ecuación da recta normal á gráfica de f no punto (a, f(a)) (recta perpendicular á tanxente nese punto) será:

y - f(a) = - (1 / f'(a)) · (x - a), sempre que f'(a) ≠ 0.

Optimización

- Optimización:

1. Poñer nomes ás variables e escribir a función que hai que optimizar.
2. Buscar a relación entre as variables; despexo unha e escribo a función a optimizar en termos dunha soa variable.
3. Buscar máximos e mínimos (comprobar extremos e puntos críticos).
4. Buscar máximos e mínimos de f nun intervalo [a, b] cando estea indicado (avaliar extremos e puntos críticos dentro do intervalo).

Función continua

Definición

Función continua: Unha función f é continua nun punto x = a do seu dominio se lim(x → a) f(x) = f(a). Isto implica que existe o límite de f no punto x = a, que f está definida en x = a (existe f(a)) e que ambos valores son iguais.

Tipos de descontinuidade

1. Descontinuidade evitable: Existe o límite lim(x → a) f(x) pero non coincide con f(a) (pódese redefinir f(a) para facela continua).
2. Descontinuidade de 1.ª especie ou de salto: Existen os límites laterais pero non son iguais: L₁ = lim(x → a⁺) f(x) distinto de L₂ = lim(x → a⁻) f(x).
3. Descontinuidade de 2.ª especie: Cando algunha (ou ambas) dos límites laterais non existen.

Observación: Para estudar a derivabilidade é necesario, como paso previo, analizar a continuidade no punto en cuestión, xa que se unha función non é continua nun punto, non pode ser derivable nese punto.