Derivadas y Ecuaciones de Funciones: Conceptos Clave y Aplicaciones

Derivadas y Ecuaciones de Funciones

f(x) = k ----- f´(x) = 0 f(x) = x ----- f´(x) = 1

f(x) = ax + b --- f´(x) = a f(x) = u^k --- f´(x) = k.u^(k-1).u´

f(x) = k raíz de u ---------- f´(x) = u´ / k . raíz k de u^(k-1)

f(x) = u ± v --- f´(x) = u´ ± v´ f(x) = k.u ---- f´(x) = k.u´

f(x) = u.v --- f´(x) = u´.v + u.v´ f(x) = u/v --- f´(x) = (u´.v - u.v´) / v^2

f(x) = k/v -- f´(x) = -k.v´ / v^2 f(x) = a^u -- f´(x) = u´.a^u. ln a

f(x) = e^u --- f´(x) = u´.e^u f(x) = ln u ---- f´(x) = u´ / u

f(x) = lg n base a de u -- f´(x) = u´ / u. ln a = (u´ / u).(lg n base a de e)

f(x) = sen u --- f´(x) = u´.cos u f(x) = cos u -- f´(x) = -u´.sen u

f(x) = tg u --- f´(x) = u´/(cos^2 u) = u´.sec^2 u = u´.(1 + tg^2 u)

f(x) = cotg u f´(x) = -(u´/sen^2 u) = u´.cosec^2 u = -u´.(1 + cotg^2 u)

f(x) = sec u -- f´(x) = (u´.sen u) / cos^2 u = u´.sec u.tg u

f(x) = cosec u -- f´(x) = -(u´.cos u) / (sen^2 u) = -u´.cosec u.cotg u

f(x) = arcsen u -- f´(x) = u´ / √(1 - u^2) f(x) = arccos u -- f´(x) = -[u´ / √(1 - u^2)]

f(x) = arctg u -- f´(x) = u´ / (1 + u^2) f(x) = arccotg u -- f´(x) = -(u´ / (1 + u^2))

f(x) = arcsec u -- f´(x) = u´ / u.√(u^2 - 1)

f(x) = arccosec u -- f´(x) = -[u´ / u.√(u^2 - 1)] (g º f)(x) = g´[f(x)] . f´(x)

f(x) = u^v -- f´(x) = v.u^(v-1).u´ + u^v.v´.ln u y´ = -f´x / f´y

Pendiente recta tg tg? = lim h→0 ?y/h = f´(a) y - f(a) = f´(a)(x - a)

Simetría (función par: f(-x) = f(x) simétrica respecto al eje de orden) (función impar: f(-x) = -f(x) simétrica respecto al origen)

Puntos de corte (eje OX: f(x) = 0) (eje OY: x = 0, calculamos f(0))

Asintotas (horizontal: lim x→∞ f(x) = k, y = k) (vertical: lim x→k f(x) = ∞, x = k)

Asintotas oblicuas y = mx + n, m = lim x→∞ f(x)/x, n = lim x→∞ [f(x) - mx]

Ramas parabólicas (eje OY: lim x→∞ f(x)/x = ∞) (eje OX: lim x→∞ f(x)/x = 0)

Crecimiento y decrecimiento 1º dominio 2º f´(x) = 0 3º raíces 4º comprobar si es creciente o decreciente en todos los intervalos formados por las raíces y el dominio

Máximos y mínimos 1º f´(x) y sacar raíces 2º f´´(x) y comprobar el signo de las raíces de f´(x) en f´´(x) si f´´(a) < 0, máximo relativo; si es mayor, mínimo relativo

Si f´´(x) = 0 hacemos derivada 3ª y lo mismo de antes

Concavidad y convexidad si f´´(a) > 0, cóncava; si es menor, convexa

Punto de inflexión 1º f´´(x) y raíces 2º f´´´(x) y calcular raíces de f´´(x)

Si f´´´(x) distinto de 0 hay punto de inflexión, resolvemos con la función

Vectores simétricos (x1 + ?)/2 = (x2 + ?)/2

Baricentro g((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)

Ángulo coseno ? = (u1v1 + u2v2) / (√(u1^2 + u2^2) . √(v1^2 + v2^2))

Recta en forma vectorial (x, y, z) = (x0, y0, z0) + ?(u1, u2, u3)

Ecuación paramétrica x = x0 + ?u1, y = y0 + ?u2, z = z0 + ?u3

Ecuación continua x - x0 / u1 = y - y0 / u2 = z - z0 / u3

Ecuación general Ax + By + Cz + d = 0, A´x + B´y + C´z + D´ = 0

Para saber vector director de la recta en ecuación

Gral = producto vectorial

Para saber un punto en la recta en ecuación general un valor cualquiera y resuelves

Plano Ax + By + Cz + D = 0, x = x0 + u1?, y = ...., z = ....

Para saber vector director de la recta en ecuación general

Rectas definidas por sus ecuaciones: hace determinante A y A´