Derivadas y Teoremas de Rolle, Cauchy y Valor Medio: Conceptos Básicos

Conceptos Básicos de Derivadas

Si X es un intervalo abierto, f: X->R una función continua en a ∈ X, se dice que f es derivable en a si existe el límite:

y es un número real (es decir, no es infinito). El valor del límite lo denominamos derivada de f en x = a, y lo representamos por f’(a), Df(a) o por df/dx (a).

Derivada por la Derecha

Si X es un intervalo, f: X -> R una función y a ∈ X, se dice que f es derivable por la derecha en a si existe el límite por la derecha y es finito:

Al valor del límite lo llamamos derivada por la derecha de f en x = a, y lo representamos por f’(a+). Es decir, la variable se aproxima al punto por la derecha, y por tanto es siempre x > a.

Derivada por la Izquierda

Si X es un intervalo, f: X ->R una función y a ∈ X, se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el límite por la izquierda y es finito:

Al valor del límite lo llamamos derivada por la izquierda de f en x = a, y lo representamos por f’(a- ). Es decir, la variable se aproxima al punto por la izquierda, y por tanto es siempre x < a.

Existencia de la Derivada

Para que exista la derivada de la función en un punto (a, f(a)), debe existir el límite

por lo que deben existir los dos límites laterales y por tanto deben existir la derivada por la derecha y la derivada a la izquierda en ese punto, y sus valores deben coincidir.

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle nos indica bajo qué condiciones podemos asegurar que hay un punto con tangente horizontal. Sea f: [a, b]  R una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = f(b) entonces existe un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que f’(c) = 0.

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un valor máximo y un valor mínimo absolutos en dicho intervalo. Pueden ocurrir dos casos:

1. Estos valores máximos y mínimos no se alcancen en el interior del intervalo. Entonces se alcanzan en los extremos a y b. Pero al ser por hipótesis f(a) = f(b) entonces el valor máximo coincide con el valor mínimo y la función es constante. Por tanto, f’(c) = 0 para todo c ∈ (a, b).
2. En caso contrario el máximo o el mínimo o ambos pertenecen al interior del intervalo. Sea por ejemplo α ∈ (a, b) el valor máximo. Al ser la función derivable en (a, b), existe f’(α).

Teorema de Cauchy

Sean f, g: [a, b] ->R dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] y derivables en el intervalo abierto (a, b). Existe un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que: (f(b) – f(a)) g’(c) = (g(b) – g(a))f’(c).

Teorema del Valor Medio

Sea f: [a, b] -> R una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Existe un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que