Descarga Oscilante de un Condensador y Dipolo Eléctrico

Descarga Oscilante de un Condensador

Consideremos un condensador de capacidad C y carga Q0 en un circuito con un interruptor S y una bobina que encierra dentro de ella el campo magnético creado por la corriente en circulación, siendo L el coef. de autoinducción. Cuando cerramos el interruptor pasan los electrones de la armadura negativa a la positiva, originando en el circuito una corriente que va de la armadura positiva a la negativa a través de la inductancia. En un instante t, la carga del condensador tendrá un valor ≠Q0. Entre los instantes t y t+dt se perderá una carga I·dt: Q=−I·dt. Teniendo en cuenta que la suma de las ddp a lo largo del circuito es 0: V/Q−L·dI/dt=0. Teniendo en cuenta que: V=Q/C→I=dQ/dt→dI/dt=d^2Q/dt^2 V/Q=d^2Q/dt^2. Teniendo en cuenta las ecuaciones del oscilador armónico simple y conociendo que en t=0→Q=Q0 ;=0: Q0=Q·cos(ωt); 0=−ωQ·sen(ωt) . Con lo que tendremos: Q=Q0·cos(ωt).

Las expresiones anteriores nos indican que la carga de un condensador y la intensidad de corriente de descarga son funciones senoidales del tiempo y la frecuencia. Q=1/2Q0√(ω^2). Si el condensador disipa energía en una resistencia R, las oscilaciones serían amortiguadas: V/Q−L·dI/dt−R=0; d^2Q/dt^2+R/L·dQ/dt+1/CL=0; Q=Q0·e^(-Rt/2L); b=ω^2LC ; ω=√[(1/LC)−(ω^2/4L^2)]

Si ω^2<4LC→Q disminuye exponencialmente, Si ω^2=4LC→Q oscila indefinidamente, Si ω^2>4LC→Q oscila y decae

Dipolo Eléctrico

Un dipolo eléctrico consta de una carga positiva y una carga negativa separadas una cierta distancia a. Vamos a hallar el campo eléctrico debido a estas cargas en un punto P situado en la mediatriz de la recta que une ambas cargas y a una distancia r de dicha recta.

La ecuación que nos dará la expresión del campo total creado por el sistema de cargas es: E=E1+E2. En este campo se cumplirá: E1=E2=Q·r^2/(r^2+a^2). La suma vectorial de E1 y E2 será: E=2Q·a/(r^2+a^2)^(3/2)

Si r>>a la ecuación se reduce a: E=Q·a/r^3. Donde p=2Qa, magnitud que recibe el nombre de momento del dipolo eléctrico, al cual se le da carácter vectorial. Su dirección será la recta que une las cargas que forman el dipolo y su sentido será de la carga positiva a la negativa.

Divergencia de un Vector

Manantial: lugar geométrico de donde manan las líneas de fuerza, siendo contrario el concepto de sumidero. La divergencia es una magnitud escalar que representa el nº de líneas de fuerza que atraviesa una superficie cerrada (densidad volumétrica de manantiales).

Consideremos una región del espacio en la que pueda definirse un campo vectorial V. Si tomamos un volumen podremos descomponerlo en volúmenes parciales de modo que cada uno de ellos encierre un solo manantial. En un intervalo de tiempo, si el nº de líneas de fuerza que mana de ese manantial es 1 podremos hablar de manantial unitario. Si los volúmenes parciales contienen un único manantial podremos definir la divergencia mediante la siguiente ecuación div(V)=limΔV→0∮V·dS/ΔV. Como de cada manantial unitario solo sale una línea de fuerza, el nº de líneas de fuerza que atraviesa la superficie S es igual al nº de manantiales que existe en el volumen dv e igual al flujo que atraviesa la superficie S que limita el volumen dv. Φ=∮V·dS=∭div(V)dV. A lo anterior se le conoce como Teorema de Gauss, que dice que la suma de las divergencias en un volumen es igual al flujo que atraviesa la superficie que encierra dicho volumen. Tomamos un punto P(x,y,z) del espacio donde está definido un campo vectorial V, siendo P el centro de un paralelepípedo del que vamos a averiguar el flujo que lo atraviesa. - Para las caras 1: dΦ/1dx=Vx−Vx+Δx/2dy; dΦ/1dy=Vy+Vy+Δy/2Δx; Φ1=(dVx/dx)*ΔxΔyΔz Para las caras 2: Φ2=(dVy/dy)ΔxΔyΔz. Para las caras 3: Φ3=(dVz/dz)ΔxΔyΔz. Por la definicion de divergencia: div(V)=∇·V=∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z