Detección y Corrección de Heterocedasticidad y Autocorrelación en Modelos Econométricos

Modelo de Regresión Lineal General (MRLG): Hipótesis y Desafíos

Las hipótesis del Modelo de Regresión Lineal General (MRLG) son las mismas que en el Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC), excepto porque la matriz de varianzas-covarianzas de las perturbaciones no es escalar. Esto podría incumplir la hipótesis de homocedasticidad e incorrelación de las perturbaciones.

Hipótesis: Modelo uniecuacional y lineal: y = Xβ + e. La matriz X es no estocástica y su rango r(X) = k+1.

Suma de Cuadrados en Modelos de Regresión

La Suma de Cuadrados Explicada (SCE) en el Modelo Transformado (MT) y el Modelo General (MG) coinciden, pero la Suma de Cuadrados Total (SCT) no.

Interpretación del Coeficiente de Determinación (R²)

El rango (-∞, 1) no representa un porcentaje de variabilidad de y explicado por la regresión. Solo indica un mejor ajuste cuanto más próximo a 1 sea su valor.

Heterocedasticidad: Detección y Causas

La heterocedasticidad se define como la situación en la que la varianza de las perturbaciones no es constante a lo largo de las observaciones muestrales. Por el contrario, la homocedasticidad implica una igual dispersión de las perturbaciones.

Causas de la Heterocedasticidad

• Que la varianza V(ε) varíe con algún regresor.
• Cuando los datos para las observaciones individuales se ajustan a las hipótesis del modelo clásico, pero los datos disponibles son sumas o medias de ellos. Existirá heterocedasticidad siempre que la agregación se haga en submuestras de diferente tamaño.
• Errores de especificación del modelo, como la omisión de regresores relevantes.

  Ejemplo: Si el modelo verdadero es Y = β0 + β1x1t + β2x2t + εt y omitimos x2t, asumiendo x2t = α0 + α1x1t + vt. El modelo estimado sería y = β0 + β1x1t + β2(α0 + α1x1t + vt) + εt = β0* + β1*x1 + ε*t. Donde E(ε*t) = E(β2vt + εt) = β2Evt + Eεt = 0 (si Evt = 0 y Eεt = 0). La varianza sería E(ε*t²) = E(β2vt + εt)² = β22Ev² + Eε² + 2β2E(vtεt). Si E(vtεt) = 0, entonces E(ε*t²) = β22Ev² + Eε². Si vt es homocedástica, ε*t también lo será. Pero si hay heterocedasticidad en la relación que liga a x1 con x2, también la habrá en este modelo.

• Selección inadecuada de la forma funcional.
• Cuando el modelo ha sido especificado con algún coeficiente aleatorio.

  Ejemplo: Si y = β0 + β1txt + εt y β1t = β1 + vt. Entonces Y = β0 + (β1 + vt)xt + εt = β0 + β1xt + xtvt + εt = β0 + β1xt + ε*t. Donde ε*t = εt + xtvt. E(ε*t) = E(εt + xtvt) = Eεt + xtEvt = 0. E(ε*t²) = E(εt + xtvt)² = Eεt² + xt2Evt² + 2xtE(εtvt). Si E(εtvt) = 0, entonces E(ε*t²) = Eεt² + xt2Evt² ≠ constante, aunque Eεt² y Evt² sean constantes. En presencia de parámetros cambiantes, el modelo es siempre heterocedástico.

Contraste del Supuesto de Homocedasticidad

Test de White

El Test de White es un contraste asintótico para detectar heterocedasticidad.

• Hipótesis nula (H₀): Homocedasticidad (σi2 = σ2).
• Regresión auxiliar: Se estiman los residuos al cuadrado (e²) en función de los regresores originales, sus cuadrados y sus productos cruzados.

  e² = δ0 + δ1x1i + δ2x2i + δ3x1i2 + δ4x2i2 + δ5x1ix2i

• Estadístico de contraste: TR² ~ χ2(p-1), donde T es el tamaño muestral, R² es el coeficiente de determinación de la regresión auxiliar y p-1 son los grados de libertad (número de regresores en la regresión auxiliar, excluyendo la constante).

Autocorrelación: Detección y Corrección

La autocorrelación es la existencia de correlación entre perturbaciones aleatorias. Supone una dependencia lineal entre los valores actuales y pasados de ε. Es frecuente en modelos temporales porque es más probable que los factores omitidos propaguen sus efectos en el tiempo que en el espacio.

Causas de la Autocorrelación

• En la realidad económica y social, con gran generalidad, las situaciones actuales dependen de niveles pasados.
• La existencia de ciclos y/o tendencias en la evolución de la variable.
• Errores de especificación del modelo, como la omisión de regresores relevantes.

  Ejemplo: Si el modelo verdadero es Y = β0 + β1x1t + β2x2t + εt y omitimos x2t, asumiendo x2t = α0 + α1x1t + vt. El modelo estimado sería y = β0 + β1x1t + β2(α0 + α1x1t + vt) + εt = β0* + β1*x1 + ε*t. Donde E(ε*t) = E(β2vt + εt) = β2Evt + Eεt = 0 (si Evt = 0 y Eεt = 0). La covarianza sería Cov(ε*t, ε*s) = E(ε*tε*s) = E[(β2vt + εt)(β2vs + εs)] = E(εtεs) + β22E(vtvs) + β2E(vtεs) + β2E(εtvs). Si E(vtεs) = 0 y E(εtvs) = 0, entonces Cov(ε*t, ε*s) = E(εtεs) + β22E(vtvs). Si v es una variable autocorrelacionada, ε* también lo será.

• Selección inadecuada de la forma funcional.
• Los cambios estructurales provocan errores sistemáticos de infra/supravaloración de y por periodos, y esto es motivo de autocorrelación positiva de los residuos de cada subperiodo.

Contrastes para la Autocorrelación

Test de Durbin-Watson

El Test de Durbin-Watson es un contraste para detectar autocorrelación de primer orden.

• Hipótesis nula (H₀): Incorrelación (ρ = 0).
• Hipótesis alternativa (H₁): Autocorrelación de primer orden (εt = ρεt-1 + ut).

Consideraciones sobre el Test de Durbin-Watson

• Es válido solo para detectar autocorrelación (AR) de las perturbaciones de primer orden.
• Es válido cuando X es no estocástica. En modelos autorregresivos, solo es apropiado para rechazar la incorrelación.
• Es válido incluso con tamaños muestrales reducidos.
• Para utilizar como referencia los valores de las tablas de Savin y White, el modelo debe especificarse con constante. Si no tiene ordenada en el origen, habría que utilizar otros valores.
• La amplitud de las zonas de indecisión en las que el contraste es concluyente depende de T (tamaño muestral) y del número de regresores.
• Para un tamaño muestral dado, el intervalo es mayor cuanto mayor sea el número de variables explicativas. Por otro lado, para un determinado número de explicativas, el intervalo es menor cuanto mayor sea el tamaño muestral.

Test de Breusch-Godfrey

El Test de Breusch-Godfrey es un contraste asintótico para detectar autocorrelación de orden p.

• Hipótesis nula (H₀): Incorrelación.
• Hipótesis alternativa (H₁): Autocorrelación de orden p (εt = ρ1εt-1 + ρ2εt-2 + ... + ρpεt-p + ut).
• Regresión auxiliar: Se estiman los residuos (et) en función de los regresores originales y los residuos rezagados.

  et = x'β + α1et-1 + ... + αpet-p + vt

• Estadístico de contraste: TR² ~ χ2(p), donde T es el tamaño muestral, R² es el coeficiente de determinación de la regresión auxiliar y p son los grados de libertad (número de residuos rezagados).

Métodos de Corrección de la Autocorrelación

Método de Cochrane-Orcutt

Este método se utiliza para corregir la autocorrelación de primer orden en el MRLG.

Dado el MRLG: yt = β0 + β1x1t + ... + βkxkt + εt.

Si existe autocorrelación de primer orden, se asume que εt = ρεt-1 + ut, donde ut es un término de error homocedástico e incorrelacionado.

De la relación de autocorrelación, podemos expresar ut = εt - ρεt-1.

El modelo en t-1 es: yt-1 = β0 + β1x1,t-1 + ... + βkxk,t-1 + εt-1.

Multiplicando el modelo en t-1 por ρ:

ρyt-1 = ρβ0 + ρβ1x1,t-1 + ... + ρβkxk,t-1 + ρεt-1.

Restando esta expresión del modelo original en t:

yt - ρyt-1 = β0(1-ρ) + β1(x1t - ρx1,t-1) + ... + βk(xkt - ρxk,t-1) + (εt - ρεt-1).

Esto da lugar al modelo transformado, donde las nuevas variables son:

y*t = yt - ρyt-1

x*it = xit - ρxi,t-1 para i = 0, 1, 2, ..., k (donde x0t = 1 para la constante).

El modelo transformado es: y*t = β*0 + β1x*1t + ... + βkx*kt + ut.

Este proceso iterativo se detiene cuando la diferencia entre dos estimaciones consecutivas de ρ es muy pequeña.

Consideraciones sobre la Bondad de Ajuste

Los estimadores de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) del modelo ponderado son eficientes y consistentes. No obstante, para valorar la bondad de ajuste, ninguno de los coeficientes de determinación (R²) que figuran en EViews serían adecuados directamente. Sería necesario calcular un R² ajustado o específico para estos modelos transformados.

Ejemplo de Interpretación del Durbin-Watson y Transformación

Si el estadístico de Durbin-Watson (dw) es 0.32 en un modelo normal y autorregresivo, en ambos casos rechazamos la hipótesis de incorrelación de las perturbaciones y existe autocorrelación positiva de orden 1.

En modelos dinámicos autorregresivos, el estadístico dw es adecuado si se rechaza la hipótesis de incorrelación de las perturbaciones, es decir, si se aproxima a 0 o a 4.

Para transformar el modelo en un modelo clásico cuando hay autocorrelación, se utilizan las siguientes transformaciones:

• y*t = yt - ρyt-1 para t = 2, 3, ..., T.
• x*it = xit - ρxi,t-1 para i = 0, 1, 2, ..., k.