Determinación de Coordenadas y Compensación en Redes Geodésicas

Triangulación: Problemas y Métodos de Resolución

A continuación, se presenta un conjunto de datos y un procedimiento para la resolución de problemas de triangulación, incluyendo el cálculo de coordenadas y la compensación de la red.

Datos de Campo y Puntos de Control

Lecturas Horizontales (LH) y Distancias Reducidas (DR):

Coordenadas de Puntos Fijos:

• C: (603,17; 1670,19)
• D: (1794,70; 798,60)
• A: (199,948; 599,775)

1. Cálculo de las Coordenadas Aproximadas de B y Estimación del Error

1.a) Cálculo de las Coordenadas Aproximadas de B

Se seleccionarán los puntos D y C para determinar las coordenadas de B mediante el triángulo que forman. Esta elección se debe a que D y C son puntos de control fijos y, por lo tanto, su contribución al error en la determinación de B será mínima.

Se aplicará el método de la intersección directa, donde el ángulo en B (∠B) se calcula a partir de los otros dos ángulos del triángulo (∠D y ∠C) mediante la relación angular de un triángulo en el sistema centesimal:

∠B = 200 gon - ∠D - ∠C

1. Ángulos

Dado que no se disponen de lecturas directas desde los vértices que forman el ángulo en B (∠B), este se obtendrá a partir de las lecturas horizontales (LH) observadas desde B hacia D y C. El ángulo ∠B se calculará como la diferencia entre la lectura hacia C y la lectura hacia D, asegurando que la resta se realice en sentido horario:

∠B = LH_BC - LH_BD

En el caso de disponer de lecturas desde los vértices (C y D) hacia el punto B, y no desde B, los ángulos internos del triángulo (∠C y ∠D) se determinarían a partir de las lecturas horizontales. Por ejemplo, desde C, el ángulo ∠C se obtendría de la diferencia entre la lectura hacia B y la lectura hacia D (LH_CB - LH_CD), considerando el sentido horario desde el norte (N) o una referencia común.

Una vez obtenido ∠B, y de manera análoga, se calcularán ∠D y ∠C a partir de sus respectivas lecturas. Alternativamente, si se conocen dos ángulos (por ejemplo, ∠B y ∠D), el tercer ángulo (∠C) puede despejarse de la relación angular de un triángulo: ∠C = 200 gon - ∠B - ∠D (en sistema centesimal).

2. Distancias

La distancia entre los puntos fijos C y D (denominada 'b' en el triángulo CDB) se calcula a partir de sus coordenadas conocidas mediante la fórmula de la distancia euclidiana:

d_CD = √((X_D - X_C)² + (Y_D - Y_C)²)

Las distancias de los vértices al punto central B (es decir, CB y DB) se obtendrán aplicando el Teorema del Seno al triángulo CDB. Por ejemplo, la distancia CB (d) se calcula como:

d_CB = d_CD * sin(∠D) / sin(∠B)

Y de manera similar para la distancia DB (c):

d_DB = d_CD * sin(∠C) / sin(∠B)

3. Acimuts

Se determinarán los acimuts de las líneas. El acimut de la línea CD (Acimut_CD) se calcula mediante la función arcotangente de la relación entre el incremento de las coordenadas X y Y:

Acimut_CD = arctan(ΔX_CD / ΔY_CD)

Es crucial considerar el cuadrante para obtener el valor correcto del acimut. La determinación del cuadrante es fundamental para el cálculo correcto del acimut:

• ΔX > 0, ΔY > 0: 1er Cuadrante (Acimut = ángulo calculado)
• ΔX > 0, ΔY < 0: 2do Cuadrante (Acimut = 200 gon - ángulo calculado)
• ΔX < 0, ΔY < 0: 3er Cuadrante (Acimut = 200 gon + ángulo calculado)
• ΔX < 0, ΔY > 0: 4to Cuadrante (Acimut = 400 gon - ángulo calculado)

Para obtener el acimut de la línea DB (Acimut_DB), se restará el ángulo interno en D (∠D) al acimut de la línea DC (Acimut_DC), ajustando si el resultado es negativo o mayor a 400 gon:

Acimut_DB = Acimut_DC - ∠D

4. Coordenadas

Las coordenadas del punto B (X_B, Y_B) se calcularán utilizando las coordenadas de un punto conocido (D) y la distancia y acimut de la línea que los une (DB):

X_B = X_D + d_DB * sin(Acimut_DB)

Y_B = Y_D + d_DB * cos(Acimut_DB)

1.b) Cálculo del Error Esperado en el Punto B

El error esperado en el punto B (e_B) se puede estimar mediante la siguiente fórmula, donde e_a es el error angular dado en los datos, l_media es la media de las distancias desde los vértices al punto B, y ∠B es el ángulo en B:

e_B = (e_a / 636620) * (l_media / sin(∠B / 2))

2. Compensación por Mínimos Cuadrados de la Red

1. Definición de Ecuaciones y Grados de Libertad

La compensación de una red geodésica implica la resolución de un sistema de ecuaciones para ajustar las observaciones y obtener los parámetros más probables. Se pueden considerar diferentes enfoques para la formulación de las ecuaciones:

• Ecuaciones de Orientación y Distancias:
  • m = número de observables. Por ejemplo, 1 ecuación de distancia (AB) + 7 lecturas angulares (número de puntos visados, excluyendo las observaciones entre puntos fijos).
  • n = 6 incógnitas (ΔX_A, ΔX_B, ΔY_A, ΔY_B, desorientación_A, desorientación_B).
  • m - n = grados de libertad (gdl).
• Ecuaciones de Ángulos y Distancias:
  • m = 1 ecuación de distancia + 5 ecuaciones de ángulos (referidas a ángulos internos o de dirección).
  • n = incógnitas (ΔX_A, ΔX_B, ΔY_A, ΔY_B).
  • m - n = grados de libertad (gdl).

2. Proceso de Cálculo para la Compensación

1. Cálculo de los Acimuts (Valores Calculados)

Se deben determinar los acimuts de las líneas desde cada estación a los puntos visados, recordando la correcta aplicación de los cuadrantes para arctan(ΔX/ΔY).

2. Cálculo de la Desorientación

La desorientación de una estación se obtiene como la diferencia entre el acimut calculado de una línea y su Lectura Horizontal (LH) observada:

Desorientación = Acimut_calculado - LH_observada

3. Cálculo del Acimut Observado

El acimut observado de cualquier línea desde esa estación se obtiene sumando la desorientación a la lectura horizontal de esa línea:

Acimut_observado = Desorientación + LH_observada

Se procede a formular las ecuaciones de observación, donde j es el punto visado y i es la estación.

El término que acompaña al vector de residuos V (o las correcciones) se multiplicará por 10000 (posiblemente un factor de escala o ponderación) y contribuirá a la formación de la matriz de pesos W.

La matriz de diseño A se construirá con las incógnitas (correcciones a las coordenadas y desorientaciones) en las columnas y las ecuaciones de observación (tramos no fijos) en las filas.

La matriz de pesos P se construirá con los inversos de las varianzas de las observaciones. Por ejemplo, para las observaciones angulares, P_angular = 1 / (σ_angular)², donde σ_angular es el error estándar angular (ej. 10 dmgr). Para las distancias, P_distancia = 1 / (σ_distancia)², donde σ_distancia es el error estándar de la distancia (ej. 0.01 m, que corresponde a 1 cm).

Los parámetros compensados (coordenadas y desorientaciones) se obtienen a partir de la solución del sistema de ecuaciones de mínimos cuadrados, que incluye el vector de residuos (V) y el vector de incógnitas (X).

El semieje mayor de la elipse de error (representando el error a posteriori) se calcula utilizando la fórmula del error a priori y los elementos de la matriz de covarianza de las incógnitas ajustadas.