Determinación de la Estabilidad en Sistemas de Control Lineales

Estabilidad en Sistemas de Control Lineales

Un sistema es estable si a una entrada acotada (limitada) presenta una salida acotada y predecible. Para determinar la estabilidad de un sistema podemos utilizar la función de transferencia de la ecuación característica.

Condiciones de Estabilidad

• Para que un sistema sea estable, todas las raíces de la ecuación característica deben estar localizadas en el semiplano izquierdo del plano S (plano de Laplace). Si alguna raíz se localiza en el semiplano derecho, el sistema es inestable.
• En caso de que existan raíces simples sobre el eje imaginario (jw) y ninguna en el semiplano derecho, el sistema es marginalmente estable y marginalmente inestable.
• Si las raíces son múltiples (de orden superior) el sistema es inestable.
• Si al sistema se le agrega un control de velocidad o un interruptor, esto introducirá una raíz en el centro del eje de coordenadas, en este caso se le considerará al sistema estable.
• Si a un sistema se lo diseñó como oscilador, se le considerará un sistema estable, ya que se lo diseñó con esa finalidad.
• En el caso de que tengamos raíces dobles (múltiples) sobre el eje imaginario, el sistema es inestable.
• Dependiendo de las otras raíces de la ecuación característica y si se agregó un control de velocidad o un interruptor a propósito, es estable. Si no se hizo a propósito, el sistema sería inestable.

Métodos para Determinar la Estabilidad

Para determinar la estabilidad de ecuaciones características de la forma:

A_nSⁿ + A_n-1S^n-1 + A_n-1S^n-2 + ... + A₁S + A₀ = 0

hay que recurrir al criterio de Routh Hurwitz o, en caso de que este no se pueda aplicar, al diagrama de Bode.

Aplicación del Criterio de Routh Hurwitz

Para que el criterio de Routh Hurwitz se pueda aplicar, todos los coeficientes de la ecuación característica deben ser del mismo signo y diferentes de cero. No pueden ser complejos (imaginarios), ni exponenciales, ni trigonométricos, ni logarítmicos, ni depender del tiempo.

Casos Especiales en la Tabulación de Routh

Cuando la tabulación de Routh termina abruptamente:

Caso 1: Coeficiente Cero en la Primera Columna

El coeficiente de la primera columna de una fila es 0, pero los demás no lo son. En este caso, todos los coeficientes de la siguiente fila serían infinitos, impidiendo continuar con la tabulación. Se procede a reemplazar el coeficiente que es igual a 0 por un valor muy pequeño y positivo ε y continuamos con la tabulación normalmente.

Caso 2: Fila Completa de Ceros

Todos los coeficientes de una fila son 0, impidiendo continuar con la tabulación. En este caso, se forma la ecuación auxiliar con los coeficientes de la fila inmediata anterior a la fila de todos 0, se deriva la ecuación auxiliar, con los coeficientes resultantes se sustituyen los que son 0 y se continúa con la tabulación normalmente.

Caso 2.1: La Constante K

Se busca el valor de K que es mayor a 0, ya que si es 0 termina abruptamente, planteándose el segundo caso de que toda una fila es 0.

Criterio de Estabilidad según Routh Hurwitz

Una vez completada la tabulación de Routh, se observan los coeficientes de la primera columna. Todos los coeficientes de la primera columna tienen que ser del mismo signo y la cantidad de cambios de signos entre los coeficientes de la primera columna debe ser igual a la cantidad de raíces de la ecuación característica localizada en el semiplano derecho del plano S.