Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Determinantes

Un determinante es un número que está asociado a una matriz cuadrada y que se obtiene aplicando un determinado procedimiento en cada caso. Para cada matriz cuadrada existe un determinante que le corresponde.

Determinante de orden 1

Es el que está asociado a una matriz de 1x1.

Determinante de orden 2

Es el que está asociado a una matriz de 2x2, es decir:

41= 4x2-1x1

12

Determinante de orden 3

Es el que está asociado a una matriz de 3x3, el resultado se obtiene aplicando la regla de Sarrus que consiste en:

1. Copiar las 2 primeras filas
2. Sumar las multiplicaciones de los elementos de las diagonales principales
3. Restar las multiplicaciones de los elementos de las diagonales secundarias

Menor complementario

El menor complementario de un elemento a_ij de una matriz cuadrada A es el determinante |M_ij| que se tiene eliminando la fila i y la columna j de a_ij.

Cofactor

El cofactor de un elemento a_ij de una matriz cuadrada A es el número c_ij que se obtiene aplicando la siguiente fórmula: c_ij: (-1)^i+j x |M_ij| (menor complementario).

Matriz de cofactores

La matriz de los cofactores de “A”, es aquella que está formada por todos los cofactores de los elementos de ella y se simboliza cof(A).

Matriz Adjunta

La adjunta de la matriz cuadrada A se define como la transpuesta de la matriz de los cofactores, es decir: adj(A)=[cof(A)]^T.

Regla de Laplace

Se utiliza para resolver determinantes de orden 3 en adelante y consiste en:

1. Elegir una fila o columna (preferentemente la que tenga la mayor cantidad de ceros)
2. Sumar las multiplicaciones de cada elemento con su cofactor

Propiedades de los determinantes

1. Si los elementos de una fila o de una columna son iguales a cero, el valor del determinante es cero.
2. El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta.
3. Si se permutan 2 filas o 2 columnas, el valor del determinante cambia de signo pero no de valor absoluto (se obtiene el valor opuesto).
4. Si el determinante tiene 2 filas o 2 columnas iguales, entonces es igual a cero.
5. Si el determinante tiene 2 filas o 2 columnas que son proporcionales, entonces es igual a cero.
6. El valor del determinante de una matriz escalar, diagonal, triangular inferior o triangular superior se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal.
7. El determinante de la multiplicación de 2 matrices es igual a la multiplicación de los determinantes de dichas matrices, es decir: |A.B|= |A| x |B|.
8. Dada una matriz regular “A”: A, A^-1= 1/|A|.

Sistemas de ecuaciones lineales

Ecuación lineal

Es aquella que se define mediante la expresión:

a₁x₁ + a₂x₂ = b

Donde:

• x₁, x₂ y x₃ son las incógnitas
• a₁, a₂, a₃ se denominan coeficientes
• b es el término independiente

Solución de una ecuación lineal

Es una n-upla que verifica la ecuación lineal.

Sistema de ecuaciones lineales rectangulares

Es aquel cuya cantidad de ecuaciones no coincide con la cantidad de incógnitas.

Sistema de ecuaciones lineales cuadradas

Es aquel cuya cantidad de ecuaciones coincide con la cantidad de incógnitas.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales

Es aquella n-upla...

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales

• Un sistema de ecuaciones lineales que tiene una única solución se denomina: SCD (sistema compatible determinado).
• Un sistema de ecuaciones lineales que tiene infinitas soluciones se denomina: SCI (sistema compatible indeterminado).
• Un sistema de ecuaciones lineales que no tiene solución se denomina sistema incompatible.

Ejemplo:

4x₁+x₂=0 ; x₁+2x₂=1; x₁-x₂=4 SISTEMA DE 3 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS - ES RECTANGULAR

3x₁+x₂-x₃=0; x₁+x₂+x₃=1; 2x₁+x₂+6x₃ SISTEMA DE 3 ECUACIONES LINEALES CON 3 INCÓGNITAS - ES CUADRADO