Diagonalización de Matrices y Cambio de Base Vectorial

Condición Necesaria y Suficiente para la Diagonalización

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Habiendo n valores propios (repetidos o no), la condición necesaria y suficiente para que A sea diagonalizable es que las multiplicidades geométricas sean iguales a las correspondientes multiplicidades algebraicas.

Si λ₁, ..., λ_k son los valores propios distintos de A, de multiplicidad algebraica m₁, ..., m_k, cumpliéndose m₁ + m₂ + ... + m_k = n, y si s₁, s₂, ..., s_k son sus multiplicidades geométricas, se verifica que A es diagonalizable si y solo si s_i = m_i para i = 1, 2, ..., k.

Sea E₁, E₂, ..., E_k los subespacios propios asociados a los valores propios distintos λ₁, ..., λ_k respectivamente. La suma F = E₁ + E₂ + ... + E_k es directa.

• dim(F) = dim(E₁) + ... + dim(E_k) = s₁ + ... + s_k
• Como s_i ≤ m_i para i = 1, 2, ..., k y m₁ + ... + m_k = n, entonces dim(F) ≤ n.

Primer caso: dim(F) = n

F coincide con el espacio de columnas K^n×1 y en ese espacio hay una base de vectores propios formada uniendo bases de cada subespacio propio. La matriz A es diagonalizable.

Segundo caso: dim(F) < n

F no llena todo el espacio de columnas K^n×1 formado por vectores propios de A. A no es diagonalizable.

Por lo tanto, A es diagonalizable si y solo si dim(F) = n, es decir, s₁ + s₂ + ... + s_k = n, siendo s_i ≤ m_i para i = 1, 2, ..., k y cumpliéndose m₁ + m₂ + ... + m_k = n.

Cambio de Base

Sea B_e = {u₁, u₂, ..., u_n} (base antigua). Un vector x de E se expresa en esta base de la forma: x = α₁*u₁ + ... + α_n*u_n.

Si B'_e = {u'₁, u'₂, ..., u'_n} es otra base de E, llamada base nueva, el vector x se puede expresar: x = α'₁*u'₁ + α'₂*u'₂ + ... + α'_n*u'_n.

Las componentes α₁, ..., α_n se llaman antiguas y las α'₁, ..., α'_n nuevas. Conocidas las bases antigua y nueva, el problema es expresar las componentes antiguas del vector x en función de las nuevas. El problema tiene solución si se conocen los coeficientes s_ij, de los vectores de la base nueva expresados en la base antigua:

u'_j = s_1j*u₁ + s_2j*u₂ + ... + s_nj*u_n para j = 1, ..., n.

Sustituyendo la expresión de u'_j en la expresión de x en la base nueva:

x = Σ_j=1ⁿ α'_j u'_j = Σ_j=1ⁿ α'_j (Σ_i=1ⁿ s_ij u_i) = Σ_i=1ⁿ (Σ_j=1ⁿ s_ij α'_j) u_i

Como la expresión de un vector en una base es única, comparando con x = Σ_i=1ⁿ α_i u_i, obtenemos las ecuaciones de cambio de base:

α_i = Σ_j=1ⁿ s_ij α'_j para i = 1, ..., n

Es decir:

α₁ = s₁₁*α'₁ + ... + s_1n*α'_n
...
α_n = s_n1*α'₁ + ... + s_nn*α'_n

Matricialmente se escribe: X_Be = S * X_B'e. La matriz S (donde S = [s_ij]) es regular ya que las ecuaciones de cambio de base tienen n ecuaciones con n incógnitas con solución única para cada vector de componentes X_B'e.