Diccionario Esencial de Conceptos Matemáticos: Progresiones, Geometría y Teoremas Fundamentales

Conceptos Fundamentales de Magnitudes y Proporcionalidad

Una magnitud es todo aquello que se puede medir o contar.

Tipos de Proporcionalidad

• Magnitudes Inversamente Proporcionales: Si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda automáticamente dividida o multiplicada por ese mismo número. Su producto es constante (cte.).
  Ejemplo: Velocidad y tiempo (manteniendo la distancia constante).
• Magnitudes Directamente Proporcionales: Si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Su cociente es constante.

Sucesiones y Progresiones

Una sucesión es un conjunto de infinitos números ordenados de tal manera que siempre habrá un primero, pero no un último. Cada número de una sucesión se llama término, y el término general es el que ocupa el lugar n.

Tipos de Progresiones

• Progresión Aritmética: Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole un número constante llamado diferencia.
• Progresión Geométrica: Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo y constante, que es la razón.

Geometría Plana: Lugares Geométricos y Elementos del Triángulo

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

Lugares Geométricos Clave

• Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. La distancia desde cualquier punto al centro se le llama radio.
• Mediatriz: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento.
• Bisectriz: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo.

Elementos y Puntos Notables del Triángulo

• Medianas: Son las rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.
• Altura de un Triángulo: Es la perpendicular trazada desde el vértice al lado opuesto.
• Distancia de un Punto a una Recta: Es la perpendicular bajada desde el punto a la recta, siendo esta la distancia más corta.

Puntos de Intersección

• Circuncentro: Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados del triángulo.
• Incentro: Es el punto donde se cortan las bisectrices del triángulo.

Teoremas Fundamentales de la Geometría

Teoremas del Triángulo Rectángulo

• Teorema de Pitágoras: Dado un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. (a² + b² = c²)
• Teorema de la Altura: En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional de los segmentos en que divide a la hipotenusa. (h² = x · y)
• Teorema del Cateto: En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. (a² = c · x)

Teorema de Thales y Semejanza

Teorema de Thales: Dado un triángulo cualquiera, si trazamos una recta paralela a uno de sus lados que corta a los otros dos, los segmentos que se producen en cada lado son proporcionales. Si tenemos un triángulo cualquiera y trazamos una recta que corte dos lados y sea paralela al tercero, se produce un triángulo más pequeño que es semejante al original.

Propiedades de Círculos y Polígonos

• Círculo: Es el conjunto de puntos que distan del centro menos que el radio de la circunferencia.
• Ángulo Inscrito: La medida de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.
• Suma de Ángulos de un Polígono Convexo: La suma de los ángulos internos de un polígono convexo es 180° × (n - 2), siendo n el número de lados.

Geometría del Espacio

• Poliedro: Porción de volumen limitado por polígonos.
• Prisma: Poliedro formado por dos polígonos iguales (bases) y caras laterales que son rectángulos.

Conceptos de Álgebra Básica

• Función: Es una correspondencia entre dos conjuntos de números tal que a cada elemento del primer conjunto (dominio) se le asigna un solo elemento del segundo conjunto (recorrido).
• Solución de una Ecuación de una Incógnita: Es el número que, al sustituir su valor por la incógnita (x), se cumple la igualdad.