Dinámica Energética: Trabajo, Potencial y Conservación en Sistemas Físicos

Trabajo Mecánico y Energía: Conceptos Fundamentales

El trabajo mecánico realizado por una fuerza constante F que actúa sobre un cuerpo que experimenta un desplazamiento Δr es igual al producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento. Se expresa como:

W = F · Δr = |F| |Δr| cos θ

Donde θ es el ángulo entre la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento.

Esto tiene las siguientes consecuencias:

• Si la fuerza neta que actúa es perpendicular al desplazamiento (θ = 90º), no se realiza trabajo (W = 0).
• Si la fuerza actúa en el mismo sentido y dirección del desplazamiento (θ = 0º), el trabajo realizado es máximo (F || Δr → W_máx).
• Si la dirección de la fuerza forma cierto ángulo con la dirección del desplazamiento, solo realiza trabajo la componente de la fuerza que actúa en la dirección del desplazamiento.
• Si el sentido de actuación de la fuerza es contrario al desplazamiento (θ entre 90º y 180º), el trabajo realizado será negativo.

Cálculo del Trabajo para Fuerzas Variables

La mayoría de las fuerzas que actúan en la naturaleza varían con la posición, de modo que no son constantes mientras se produce el desplazamiento. Ejemplos de estas son las fuerzas elásticas, la gravitación, etc.

Consideramos un caso general en el que se desea calcular el trabajo realizado por una fuerza que varía con la posición. Sabemos que el área encerrada en una gráfica F-r representa el valor del trabajo. Para calcular el trabajo, tendríamos que dividir el área total en rectángulos infinitesimales. La suma de las áreas de todos esos rectángulos coincidirá con el área que deseamos calcular. Dicha suma de infinitos términos es conocida como integral, y si se efectúa entre dos valores, se conoce como integral definida.

La base de los rectángulos es el desplazamiento infinitesimal (dr), y al ser estos desplazamientos muy pequeños, podemos deducir que la fuerza permanecerá prácticamente constante. Por lo tanto, el área de un solo rectángulo representa el trabajo realizado por la fuerza en ese desplazamiento infinitesimal:

dW = F · dr

Apliquemos esto a un caso concreto, como el de la fuerza restauradora de un muelle, dada por la Ley de Hooke, siendo k la constante elástica del muelle: F = kx (donde x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio).

El trabajo desarrollado por un muelle al modificar la posición de su extremo libre desde una posición inicial X_a a otra final X_b, como la fuerza que ejerce no es constante, se calcula mediante la integral y resulta en:

W = ½kX_a² - ½kX_b²

En general, si la fuerza es variable, podremos calcular el trabajo desarrollado si conocemos la relación entre la fuerza y el desplazamiento, resolviendo la integral correspondiente.

Teorema de la Energía Cinética (Fuerzas Vivas)

El Teorema de la Energía Cinética, también conocido como Teorema de las Fuerzas Vivas, establece que:

W_total = ΔE_c

El trabajo total realizado por la fuerza neta sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética que experimenta dicha partícula.

Fuerzas Conservativas y Energía Potencial

Cuando el trabajo realizado para desplazar una partícula de una posición A a una posición B es independiente del camino seguido, la fuerza que lo realiza se denomina fuerza conservativa. Una característica fundamental de las fuerzas conservativas es que el trabajo realizado por ellas en una trayectoria cerrada es nulo.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa está relacionado con la variación de la energía potencial (E_p) que experimenta el sistema según:

W_c = -ΔE_p

Por ejemplo, el trabajo realizado por el peso (p = mg) de una partícula que se desplaza desde un punto P1 (X1, Y1, Z1) hasta un punto P2 (X2, Y2, Z2) es:

W = -mgΔz

Donde Δz es la variación de la altura.

Conservación de la Energía Mecánica

Cuando sobre una partícula actúan tanto fuerzas conservativas (W_c) como fuerzas no conservativas (W_nc), el trabajo total (W_total) vendrá dado por la suma de ambos:

W_total = W_c + W_nc

Utilizando el Teorema de la Energía Cinética (W_total = ΔE_c) y la relación para fuerzas conservativas (W_c = -ΔE_p), podemos sustituir en la ecuación anterior:

ΔE_c = -ΔE_p + W_nc

Reorganizando, obtenemos:

W_nc = ΔE_c + ΔE_p

Dado que la variación de la energía mecánica (ΔE_m) se define como la suma de las variaciones de la energía cinética y potencial (ΔE_m = ΔE_c + ΔE_p), podemos concluir que:

W_nc = ΔE_m

En consecuencia:

• Si sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas (es decir, W_nc = 0), su energía mecánica se conserva (ΔE_m = 0). Este es el Principio de Conservación de la Energía Mecánica.
• El trabajo total desarrollado sobre un cuerpo por las fuerzas no conservativas es igual a su variación de la energía mecánica.