Dinámica de Fluidos en Rotación Rígida: Derivación del Campo de Presiones

Estudio de la Rotación de un Fluido como Sólido Rígido a $\omega = \text{cte}$

El fluido gira alrededor del eje $z$ sin traslación a una velocidad angular constante ($\omega$), momento en el cual el fluido ha alcanzado la rotación como sólido rígido. En estas condiciones, el fluido tendrá únicamente aceleración centrípeta.

Determinación de la Aceleración

La aceleración se obtiene derivando la velocidad, dada por: $V = V_0 + \omega \times r_0$.

La aceleración total es:

$$a = \frac{dV_0}{dt} + \omega \times (\omega \times r_0) + \frac{d\omega}{dt} \times r_0$$

Dado que $\frac{dV_0}{dt} = 0$ (sin traslación) y $\frac{d\omega}{dt} = 0$ (velocidad angular constante), la aceleración se simplifica a:

$$a = \omega \times (\omega \times r_0) = a_{\text{centrípeta}}$$

Utilizando la identidad vectorial, la aceleración es:

$$a = -r \omega^2 \mathbf{i}_r$$

Cálculo del Campo de Presiones

Partimos de la ecuación fundamental para el gradiente de presión en un campo de fuerzas:

$$\nabla p = \rho (\mathbf{g} - \mathbf{a})$$

Expresado en coordenadas cilíndricas, donde $\mathbf{g} = -g\mathbf{k}$ y $\mathbf{a} = -r\omega^2 \mathbf{i}_r$:

$$\mathbf{i}_r \frac{\partial p}{\partial r} + \mathbf{k} \frac{\partial p}{\partial z} = \rho \left( r\omega^2 \mathbf{i}_r - g\mathbf{k} \right)$$

Igualando componentes se determinan las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden:

• Componente radial ($\mathbf{i}_r$): $\frac{\partial p}{\partial r} = \rho r \omega^2$
• Componente axial ($\mathbf{k}$): $\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g$

Integración Parcial para Obtener $P(r, z)$

Se integra parcialmente la primera ecuación, manteniendo $z$ constante respecto a $r$:

$$p(r, z) = \int \rho r \omega^2 dr = \frac{1}{2} \rho r^2 \omega^2 + f(z)$$

Donde la constante de integración es, en realidad, una función de $z$, $f(z)$.

Ahora, derivamos esta expresión respecto a $z$ y la comparamos con la segunda ecuación ($\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g$):

$$\frac{\partial p}{\partial z} = 0 + f'(z) = -\rho g$$

Integramos $f'(z)$ para encontrar $f(z)$:

$$\int_0^z f'(z) dz = \int_0^z -\rho g dz \implies f(z) = -\rho g z + C$$

Por lo tanto, la ecuación general de la presión queda:

$$P(r, z) = P_0 - \rho g z + \frac{1}{2} \rho r^2 \omega^2$$

El valor de la constante $C$ se determina especificando la presión en algún punto. Si se establece que $p = p_0$ en $(r, z) = (0, 0)$, entonces $C = p_0$. La expresión final es:

$$P(r, z) = P_0 - \rho g z + \frac{1}{2} \rho r^2 \omega^2$$

Ecuación de las Superficies Isobaras

Partimos de la ecuación general indefinida de la dinámica de un medio continuo en forma tensorial:

$$\nabla p + \rho \mathbf{b} = \rho \mathbf{a}$$

Donde $\nabla p$ se representa por el tensor (matriz) de derivadas parciales de la presión, $\rho \mathbf{b}$ son las fuerzas de campo (gravedad) y $\rho \mathbf{a}$ es la aceleración pertinente.

Aplicando los vectores $\mathbf{b} = \mathbf{g} = (0, -g, 0)$ y $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$:

$$-\nabla p + \rho \mathbf{g} = \rho \mathbf{a} \implies -\nabla p + \rho (\mathbf{g} - \mathbf{a}) = 0$$

Multiplicando escalarmente por un vector diferencial de posición $d\mathbf{l} = (dx, dy, dz)$:

$$-(\nabla p) \cdot d\mathbf{l} + \rho (\mathbf{g} - \mathbf{a}) \cdot d\mathbf{l} = 0$$

Desarrollando el producto escalar:

$$- \left( \frac{\partial p}{\partial x} dx + \frac{\partial p}{\partial y} dy + \frac{\partial p}{\partial z} dz \right) + \rho \left( (0, -g, 0) - (a_x, a_y, a_z) \right) \cdot (dx, dy, dz) = 0$$

Esto se simplifica a:

$$-dp - \rho (a_x dx + (-g + a_y) dy + a_z dz) = 0$$

Para una superficie isobara, la presión es constante, por lo tanto $dp=0$. La ecuación que define estas superficies es:

$$\rho (a_x dx + (-g + a_y) dy + a_z dz) = 0$$

Si las componentes de la aceleración ($a_x, a_y, a_z$) son constantes (no dependen de la posición), podemos integrar:

$$\int a_x dx + \int (-g + a_y) dy + \int a_z dz + C' = 0$$

Donde $C'$ es una constante que representa la presión en esa superficie:

$$\rho (a_x x + (-g + a_y) y + a_z z) + C'' = 0$$

Si redefinimos la constante para que la ecuación sea homogénea (asumiendo que $C'$ está absorbida en la definición de la superficie):

$$a_x x + (-g + a_y) y + a_z z = \text{constante}$$