Dinámica de Partículas Cargadas en Campos Magnéticos Uniformes

Interacción de Cargas en Movimiento con Campos Magnéticos

Cuando una carga eléctrica q se mueve con velocidad V y penetra en una región en la que hay un campo magnético B, recibe una fuerza magnética F_m. Esta fuerza se describe mediante la siguiente expresión vectorial:

F_m = q(V x B)

Si la única fuerza que actúa sobre la carga es la fuerza magnética, la aceleración a que adquiere es:

a = F_m / m = q(V x B) / m

Trabajo Realizado por la Fuerza Magnética

El trabajo realizado por esta fuerza en un desplazamiento infinitesimal dr de la carga es nulo:

dW = F_m ⋅ dr = (q(V x B)) ⋅ dr = 0

Esto se debe a que el vector V x B es siempre perpendicular a la velocidad V. Dado que la fuerza magnética F_m es siempre perpendicular a la velocidad V (F_m ⊥ V), y el desplazamiento infinitesimal dr es en la dirección de V, el producto escalar de vectores perpendiculares es cero.

La fuerza magnética no realiza trabajo sobre una carga; por lo tanto, es incapaz de variar su energía cinética (E_c). Como consecuencia, un campo magnético no varía el módulo de la velocidad V de una carga, pero sí puede desviar la trayectoria.

Matemáticamente, la fuerza magnética no es conservativa, por lo que no se puede definir una energía potencial magnética (U) asociada a ella. Sin embargo, desde el punto de vista de la energía mecánica, la fuerza magnética no realiza trabajo, lo que implica que la energía cinética de la partícula se conserva. Esto se debe a que F_m es siempre perpendicular a V (F_m ⊥ V), por lo tanto, el trabajo realizado por F_m es cero. Como consecuencia, el módulo de la velocidad V es constante, y por ello la energía cinética (E_c) también lo es.

Según el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética (W_total = ΔE_c). Dado que la fuerza magnética no realiza trabajo (W_Fm = 0), si es la única fuerza actuando, entonces ΔE_c = 0, lo que significa que la energía cinética de la carga se conserva. Si consideramos un sistema donde solo actúan fuerzas conservativas y la fuerza magnética, entonces el trabajo de las fuerzas no conservativas (W_nc) es cero, y la energía mecánica total (E_m) del sistema se conserva (ΔE_m = 0, por lo tanto E_m = constante).

Movimiento de Cargas en Campos Magnéticos Específicos

Cargas moviéndose perpendicularmente al campo magnético

Cuando una carga q entra en una región en la que hay un campo magnético uniforme B y perpendicular a su velocidad inicial V, el módulo de la velocidad de la carga permanece constante.

La aceleración que experimenta la carga es una aceleración centrípeta (a_c = V^2 / R). Como consecuencia, la carga realiza un Movimiento Circular Uniforme (MCU) de radio:

R = mV / (|q|B)

El sentido de giro depende del signo de la carga de la partícula: si es positiva (+), gira en el sentido del producto vectorial V x B; y si es negativa (-), lo hace en sentido opuesto. El periodo T y la frecuencia angular ω (llamada frecuencia de ciclotrón del movimiento circular) se pueden calcular directamente. Dado que solo actúa la fuerza magnética (F_m), esta se comporta como la fuerza centrípeta (F_cp) necesaria para el MCU:

F_m = F_cp

|q|VB = mV^2/R

De aquí, podemos obtener:

• Periodo (T): T = 2πR / V = 2πm / (|q|B)
• Frecuencia angular (ω): ω = V / R = |q|B / m

Carga moviéndose con un cierto ángulo respecto al campo magnético

Si la carga está en presencia de un campo magnético uniforme B que forma un ángulo θ con su velocidad V, su movimiento se puede obtener como la superposición de dos movimientos más simples.

El vector velocidad V se descompone en dos direcciones: una paralela al campo magnético B (V_p) y la otra ortogonal a él (V_n).

• El movimiento en la dirección paralela a B es un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) con velocidad V_p = V cos θ.
• El movimiento en la dirección perpendicular al campo magnético es un Movimiento Circular Uniforme (MCU) con velocidad V_n = V sen θ y radio: R = mV_n / (|q|B) = (mV sen θ) / (|q|B).

La composición de ambos movimientos resulta en un movimiento helicoidal. En este movimiento, la distancia recorrida a lo largo de la dirección paralela a B en un periodo T del MCU (conocida como el paso de la hélice, d), viene dada por:

d = T V_p

Movimiento en Campos Magnéticos No Uniformes: La Botella Magnética

Si el campo magnético no es uniforme, el movimiento de la carga que penetra en el campo es más complicado. Puede darse el caso de que la partícula realice movimientos helicoidales en un sentido y luego en el contrario, de modo que queda atrapada en una región del espacio. Esta configuración se denomina botella magnética.