Dinámica de Rotación del Sólido Rígido: Momento de Inercia y Momento Angular

La dinámica del sólido rígido alrededor de un eje fijo es un concepto fundamental en la física. Para comprenderla, consideremos un sólido que gira alrededor de un eje que pasa por dos puntos específicos. Si tomamos un sistema de referencia (SR) propio de forma que el eje Z coincida con el eje fijo, el origen O del sistema pertenecerá a este eje.

Observamos que un momento infinitesimal de masa (dM) arbitrario describe una circunferencia de radio r alrededor del eje Z. La velocidad (v) de este elemento es tangente a la circunferencia y su módulo es v = ωr, donde ω es la velocidad angular. Aunque la velocidad angular de rotación del sólido es la misma en todos sus puntos, la velocidad de cada elemento dM depende de su distancia respecto al eje de rotación. El momento angular del elemento dM respecto de O viene dado por dL₀ = r × v dM.

Componente del Momento Angular a lo largo del Eje de Giro (Lz)

Vamos a analizar primero qué ocurre con la componente del momento angular en la dirección del eje de giro (eje Z). Esta componente, dL₀z, viene dada por dL₀z = p v dM, donde p es la distancia perpendicular del elemento de masa al eje de giro (p = r sen(θ), siendo θ el ángulo formado por r y ω).

Sumando dL₀z para todas las partículas del sólido, obtenemos la componente Z del momento angular total del sólido rígido (SR):

• L₀z = I_z ω

Es importante destacar que L₀z no depende del punto del eje OZ que se tome como origen O. Por esta razón, podemos suprimir el subíndice '0', quedando simplemente L_z = I_z ω.

Hemos definido el momento de inercia del sólido respecto al eje de giro I_z como:

• I_z = ∫ p² dM

Teorema del Momento Angular y Fuerzas Externas

Anteriormente hemos visto que el teorema del momento angular para un sistema de partículas establece una relación entre el momento angular total del sistema respecto del origen de un sistema de referencia inercial y el momento de fuerzas externas referido a ese mismo origen:

• M_ext = I_z α

Donde M_ext es el momento de fuerza externo y α es la aceleración angular.

Cuando el momento de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido no tiene componente en la dirección del eje (es decir, M_z = 0), el producto I_z ω se mantiene constante en el tiempo. Esto significa que si M_z = 0, entonces I_z ω = constante. Este principio también es válido para cuerpos no rígidos, en los que el momento de inercia puede variar. Si el momento resultante es nulo, las variaciones de I_z van acompañadas de variaciones de ω que mantienen el producto I_z ω constante.

Componentes Perpendiculares del Momento Angular (Lx, Ly)

En general, las componentes del momento angular perpendiculares al eje de rotación (L_x y L_y) no tienen por qué ser nulas. La dirección del momento angular (L) y la del eje de rotación (Z) no son necesariamente paralelas.

La falta de paralelismo entre el momento angular (L) y la velocidad angular (ω) hace que, cuando el eje de rotación está fijo, el vector momento angular cambie de dirección con la rotación. Por lo tanto, la derivada de L_x y L_y será distinta de cero. Para mantener fija la dirección del eje, es necesario ejercer un momento de fuerza no nulo.

Sin embargo, si no hay ninguna fuerza exterior y el teorema del momento angular nos dice que el momento angular es constante en el tiempo (tanto en módulo como en dirección), será el eje de rotación el que vaya cambiando de dirección. Este fenómeno se conoce como precesión.