Distribuciones de Probabilidad Continua y la Distribución Normal

Distribuciones de Probabilidad de Variable Continua

La distribución de probabilidad de una variable continua se define a partir del área que hay debajo de una función, la cual se denomina “función de densidad”.

Condiciones de la Función de Densidad

• No puede tomar valores negativos (f(x) ≥ 0).
• El área total bajo la curva de la función de densidad y sobre el eje X debe ser igual a 1.

Cálculo de Probabilidades en Distribuciones Continuas

• En una distribución continua, la probabilidad de cualquier valor concreto es cero (P[x=a] = 0).
• La probabilidad entre dos valores es igual al área de la función que queda entre ellos.

La Distribución Normal

Se denotará una distribución normal como N (μ, σ).

Hay muchas situaciones que siguen una distribución normal (ej. altura y peso de la gente).

Se define a partir de una función exponencial (Campana de Gauss).

La Campana de Gauss

• Su máximo coincide con la media de valores de la distribución (μ).
• Es simétrica respecto a la media (μ).
• Para cada valor de μ y cada valor de σ existe una curva normal única.
  • Distribución Normal Estándar: N (0, 1)
• La forma de la campana depende del valor de σ: cuanto mayor sea, más achatada será.
• La posición de la campana depende de μ.

Propiedades de Probabilidad Clave

En cualquier distribución normal, se cumple lo siguiente:

• P [μ – σ < x < μ + σ] = 0,6828
• P [μ – 2σ < x < μ + 2σ] = 0,9544
• P [μ – 3σ < x < μ + 3σ] = 0,9974

Cálculo de Probabilidad en Distribuciones Normales

Probabilidad de la Distribución Normal Estándar N (0, 1)

Para hallar la probabilidad de que se obtenga algún valor menor a uno que se dé (k), en una distribución normal estándar, se utilizará la tabla de la distribución normal estándar: P [x ≤ k] = φ (k).

• Para buscar un valor en la tabla, se mira en la primera columna (unidades y décimas), y después se mira en la primera fila (centésimas), y en el lugar en que coinciden, se obtiene el número buscado.

Probabilidades que no están Directamente en la Tabla

Se calculan a partir de las siguientes propiedades:

1. La probabilidad de que z sea mayor que un número, es igual a 1 menos la probabilidad de que z sea menor que ese número (P [z > k] = 1 – P [z < k]).
2. La probabilidad de que z sea menor que un número negativo es igual a la probabilidad de que z sea mayor que ese número en positivo (P [z < -k] = P [z > k]).
3. La probabilidad entre dos valores es igual a la probabilidad de que z sea menor que el mayor menos la probabilidad de que z sea menor que el menor (P [k < z < K] = P [z < K] – P [z < k]).

Probabilidad de Cualquier Distribución Normal (Tipificación)

Si tenemos una distribución normal cualquiera, para calcular su probabilidad, hay que tipificarla: transformar la normal que se da en una normal estándar. Para ello, se le resta a la variable la media (μ) y todo ello se divide por la desviación típica (σ).