Distribuciones de probabilidad y contraste de hipótesis: fundamentos en estadística
Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución rectangular o uniforme
Se dice que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución rectangular o uniforme, y se nota X ~ U(a, b), si su función de densidad es:
f(x) = 1/(b − a) si x ∈ (a, b).
Para comprobar que es una función de densidad debe verificar:
- f(x) ≥ 0.
- ∫ₐᵇ f(x) dx = 1.
Distribución exponencial
Sea X una variable aleatoria valuada en ℝ⁺. Se dice que X se distribuye según una distribución exponencial si su función de densidad es:
f(x) = (1/θ) e^(−x/θ) si x > 0, θ > 0.
Se verifica que es función de densidad si:
- f(x) ≥ 0.
- ∫₀^(+∞) f(x) dx = 1.
Distribución normal
Se dice que la variable aleatoria Z sigue una distribución normal reducida, que se nota Z ~ N(0, 1), si su función de densidad responde a:
f(z) = (1/√(2π)) · e^(−z²/2) si −∞ < z < +∞.
Se verifica que es función de densidad si:
- f(z) ≥ 0, ∀ z ∈ ℝ.
- ∫₋∞^(+∞) f(z) dz = 1.
Distribución F de Snedecor
La distribución F(n, m) de Snedecor, con n y m grados de libertad, surge del cociente de dos distribuciones χ² independientes, cada una ponderada por sus grados de libertad:
F(n, m) = [χ²(n)/n] / [χ²(m)/m]
El recorrido de la variable son los números reales positivos.
Su esperanza es E(F) = m/(m − 2) para m > 2.
Su varianza es Var(F) = [2m²(n + m − 2)] / [n(m − 2)²(m − 4)] para m > 4.
Distribución t de Student
Esta distribución surge del cociente entre una N(0, 1) y la raíz cuadrada de una χ²(n) ponderada por sus grados de libertad:
t(n) = N(0, 1) / √[χ²(n)/n]
El recorrido de estas variables es todo ℝ.
Su esperanza es E(t) = 0 para n > 1, e indefinida en otros valores.
Su varianza es Var(t) = n/(n − 2) para n > 2, e indefinida en otros valores.
Propiedades de los estimadores
- Estimador insesgado: cuando su valor esperado coincide con el valor del parámetro que pretende estimar.
- Estimador eficiente: cuando posee varianza mínima.
- Estimador consistente: si la probabilidad de cometer errores de estimación tiende a ser despreciable cuando el tamaño de la muestra aumenta considerablemente.
Intervalo de confianza
Par o varios pares de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Estos números determinan un intervalo que se calcula a partir de la muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional.
Contraste de hipótesis
Sea una variable aleatoria en una población cuya distribución de probabilidades depende de un cierto parámetro θ, desconocido, que puede tomar cualquier valor dentro de un cierto conjunto que llamaremos espacio muestral.
Hipótesis nula y alternativa
Hipótesis nula (H₀): es la que afirma que el verdadero valor del parámetro se encuentra entre los valores de un cierto subconjunto del espacio paramétrico.
Hipótesis alternativa (H₁): es la que, al contrario, afirma que el verdadero valor del parámetro se encuentra fuera de dicho conjunto.
Región de rechazo
El conjunto de muestras difícilmente observables bajo la hipótesis nula recibe el nombre de región de rechazo o región crítica. La región de rechazo se construye a través de un estimador del parámetro.
La regla para decidir si la hipótesis nula es falsa es que la muestra pertenezca a la región de rechazo.