Dominando las Derivadas: Conceptos y Aplicaciones Esenciales en Cálculo

Derivada por Definición de Límite

La derivada de una función f(x) se define formalmente mediante el límite:

lim_h→0   ^{f(x+h) - f(x)}⁄_h

Ejemplo Práctico: Derivación de f(x) = x² + x - 3

Aplicaremos la definición de límite para encontrar la derivada de f(x) = x² + x - 3:

lim_h→0   ^{((x+h)2 + (x+h) - 3) - (x2 + x - 3)}⁄_h

Expandimos el término (x+h)² y simplificamos:

lim_h→0   ^{(x2 + 2xh + h2 + x + h - 3 - x2 - x + 3)}⁄_h

Agrupamos y cancelamos términos:

lim_h→0   ^{(2xh + h2 + h)}⁄_h

Factorizamos h en el numerador y simplificamos:

lim_h→0   ^{h(2x + h + 1)}⁄_h

Esto nos deja con:

2x + h + 1

Finalmente, sustituimos h = 0 en la expresión resultante:

2x + 0 + 1 = 2x + 1

Por lo tanto, la derivada de f(x) = x² + x - 3 es f'(x) = 2x + 1.

Ecuación de la Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado se puede encontrar utilizando la derivada para determinar la pendiente (m) en ese punto y luego aplicando la forma punto-pendiente de una recta: y - y₁ = m(x - x₁).

Ejemplo 1: Recta Tangente a f(x) = x³ en (2, 8)

Primero, encontramos la derivada de f(x) = x³:

f'(x) = 3x²

Luego, evaluamos la derivada en x = 2 para obtener la pendiente m:

m = f'(2) = 3(2)² = 3(4) = 12

Ahora, usamos la forma punto-pendiente con el punto (x₁, y₁) = (2, 8) y la pendiente m = 12:

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 8 = 12(x - 2)

Distribuimos y reordenamos la ecuación para obtener la forma general Ax + By + C = 0:

y - 8 = 12x - 24

12x - y - 24 + 8 = 0

12x - y - 16 = 0

Ejemplo 2: Recta Tangente Paralela a una Recta Dada

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = 2x² que sea paralela a la recta 4x + y + 3 = 0.

Primero, determinamos la pendiente de la recta dada. Reorganizamos 4x + y + 3 = 0 a la forma y = mx + b:

y = -4x - 3

La pendiente de esta recta es m = -4. Dado que la recta tangente debe ser paralela, su pendiente también debe ser -4.

Ahora, encontramos la derivada de f(x) = 2x²:

f'(x) = 4x

Igualamos la derivada a la pendiente deseada para encontrar el valor de x en el punto de tangencia:

4x = -4

x = -4 / 4

x = -1

Sustituimos x = -1 en la función original f(x) para encontrar la coordenada y del punto de tangencia:

f(-1) = 2(-1)² = 2(1) = 2

Así, el punto de tangencia es P(-1, 2).

Finalmente, usamos la forma punto-pendiente con (x₁, y₁) = (-1, 2) y la pendiente m = -4:

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 2 = -4(x - (-1))

y - 2 = -4(x + 1)

Distribuimos y reordenamos la ecuación:

y - 2 = -4x - 4

4x + y - 2 + 4 = 0

4x + y + 2 = 0

Reglas Fundamentales de Derivación

A continuación, se presentan ejemplos de derivación aplicando las reglas básicas y la reescritura de funciones para facilitar el proceso.

Ejemplos de Derivación Paso a Paso

• Función Original: y = 5/(2x²)
• Reescribir: y = (5/2)x^-2
• Derivar: y' = (5/2)(-2)x^-2-1 = -5x^-3
• Simplificar: y' = -5/x³

• Función Original: y = 6/(5x)³
• Reescribir: y = 6/(125x³) = (6/125)x^-3
• Derivar: y' = (6/125)(-3)x^-3-1 = (-18/125)x^-4
• Simplificar: y' = -18/(125x⁴)

Tabla de Derivación con Reescritura

Regla de la Cadena (Chain Rule)

La regla de la cadena es fundamental para derivar funciones compuestas. Si Y = f(g(x)), entonces Y' = f'(g(x)) * g'(x). Se puede visualizar descomponiendo la función en una función externa f(u) y una función interna u = g(x).

Derivadas de Funciones Trigonométricas

Aquí se muestran ejemplos de derivadas de funciones trigonométricas, aplicando la regla de la cadena cuando es necesario.

• Función: Y = cos(4x)
• Derivada: Y' = -sen(4x) * (4) = -4sen(4x)

• Función: Y = 5tan(3x)
• Derivada: Y' = 5 * sec²(3x) * (3) = 15sec²(3x)

• Función: Y = sen(2x)cos(2x)
• Reescribir (identidad trigonométrica): Y = (1/2)sen(4x)
• Derivada: Y' = (1/2)cos(4x) * (4) = 2cos(4x)

• Función: Y = 4sec²(x)
• Derivada: Y' = 4 * 2sec(x) * (sec(x)tan(x)) = 8sec²(x)tan(x)

Reglas de Derivación Específicas

Regla de la Suma

Si f(x) = g(x) + h(x), entonces su derivada es:

f'(x) = g'(x) + h'(x)

Ejemplo:

f(x) = 2x⁷ + x³

f'(x) = 14x⁶ + 3x²

Regla de la Diferencia

Si f(x) = g(x) - h(x), entonces su derivada es:

f'(x) = g'(x) - h'(x)

Ejemplo:

f(x) = x⁴ - 2x³

f'(x) = 4x³ - 6x²

Regla del Producto (Multiplicación)

Si f(x) = g(x) * h(x), entonces su derivada es:

f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)

Ejemplo:

f(x) = (3x⁴ + x²) * (7x³ - 2x²)

Identificamos g(x) y h(x), y sus derivadas:

• g(x) = 3x⁴ + x²
• g'(x) = 12x³ + 2x
• h(x) = 7x³ - 2x²
• h'(x) = 21x² - 4x

Regla del Cociente (División)

Si f(x) = g(x) / h(x), entonces su derivada es:

f'(x) = ^{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}⁄_[h(x)]²

Ejemplo:

f(x) = (3x⁴ + x²) / (7x³ - 2x²)

Identificamos g(x) y h(x), y sus derivadas:

• g(x) = 3x⁴ + x²
• g'(x) = 12x³ + 2x
• h(x) = 7x³ - 2x²
• h'(x) = 21x² - 4x

Derivada de la Función Coseno

Si f(x) = cos(g(x)), entonces su derivada es:

f'(x) = -g'(x) * sen(g(x))

Ejemplo:

f(x) = cos(x²)

Aquí, g(x) = x², y su derivada es g'(x) = 2x.

f'(x) = -2x sen(x²)

Derivada de la Función Tangente

Si f(x) = tan(g(x)), entonces su derivada es:

f'(x) = g'(x) * sec²(g(x))

Ejemplo:

f(x) = tan(x²)

Aquí, g(x) = x², y su derivada es g'(x) = 2x.

f'(x) = 2x sec²(x²)

Derivada de la Función Exponencial Natural

Si f(x) = e^g(x), entonces su derivada es:

f'(x) = g'(x) * e^g(x)

Ejemplo:

f(x) = e^3x+2

Aquí, g(x) = 3x + 2, y su derivada es g'(x) = 3.

f'(x) = 3e^3x+2

Derivada de la Función Raíz n (Potencia Fraccionaria)

Una función de la forma f(x) = ⁿ√(g(x))^u puede reescribirse como f(x) = (g(x))^u/n.

La derivada se calcula usando la regla de la cadena y la regla de la potencia:

f'(x) = (u/n) * g'(x) * (g(x))^{(u/n - 1)}

Esta fórmula se puede expresar de dos maneras, dependiendo de si el exponente final es positivo o negativo:

• Cuando u > n:

  f'(x) = (u/n) * g'(x) * ⁿ√(g(x))^u-n

• Cuando u < n:

  f'(x) = (u/n) * g'(x) / ⁿ√(g(x))^n-u

Ejemplo:

f(x) = ⁵√(x³ + 7x)⁷

Aquí, g(x) = x³ + 7x, y su derivada es g'(x) = 3x² + 7. Tenemos u = 7 y n = 5.

Dado que u > n (7 > 5), aplicamos la primera forma de la fórmula:

f'(x) = (7/5) * (3x² + 7) * ⁵√(x³ + 7x)^7-5

f'(x) = (7/5) * (3x² + 7) * ⁵√(x³ + 7x)²