Dominando la Factorización y Productos Notables en Álgebra
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¿Qué es la Factorización?
Es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica en forma de producto.
Productos Notables
Binomio al Cuadrado (Suma)
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Ejemplo 1: (7x + 2y)2
= (7x)2 + 2(7x)(2y) + (2y)2
= 49x2 + 28xy + 4y2
Ejemplo 2: (2/3x + 4/5)2
= (2/3x)2 + 2(2/3x)(4/5) + (4/5)2
= 4/9x2 + 16/15x + 16/25
Diferencia de Cuadrados (Producto de Binomios Conjugados)
(a + b)(a – b)
= a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
Ejemplo: (x2 – y)(x2 + y)
= (x2)2 + x2y – x2y – y2
= x4 – y2
Factorización por Factor Común
La factorización por factor común se basa en la propiedad distributiva:
a(b + c + d + e) = ab + ac + ad + ae
Ejemplo de aplicación de la propiedad distributiva:
2x(6y – 7z) = 12xy – 14xz
Para factorizar 12xy – 14xz, identificamos el factor común 2x, resultando en 2x(6y – 7z).
Factorización de Trinomios Cuadráticos
x2 + 10x + 21 = (x + 7)(x + 3)
x2 + 3x – 40 = (x + 8)(x - 5)
x2 – 13x + 36 = (x – 9)(x - 4)
Desarrollo de Binomios al Cuadrado y al Cubo
Binomio al Cuadrado
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Binomio al Cubo
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ejemplo: (4x + 5y)3
= (4x)3 + 3(4x)2(5y) + 3(4x)(5y)2 + (5y)3
= 64x3 + 240x2y + 300xy2 + 125y3
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Ejemplo: Factorizar 4x2 + 8xy + 4y2
Para verificar si es un trinomio cuadrado perfecto, se extrae la raíz cuadrada de los términos cuadrados y se verifica el término central:
Raíz cuadrada de 4x2 es 2x.
Raíz cuadrada de 4y2 es 2y.
El doble producto de las raíces es 2(2x)(2y) = 8xy, que coincide con el término central.
Por lo tanto, la factorización es:
(2x + 2y)2 = (2x)2 + 2(2x)(2y) + (2y)2
= 4x2 + 8xy + 4y2
Multiplicación de Binomios con un Término Común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo 1: (x + 2)(x + 5) = x2 + (2 + 5)x + (2)(5)
= x2 + 7x + 10
Ejemplo 2: (x – 3)(x + 4) = x2 + (-3 + 4)x + (-3)(4)
= x2 + x – 12
Ejemplo 3: (x - 7)(x - 8) = x2 + (-7 + -8)x + (-7)(-8)
= x2 – 15x + 56
Factorización por Factor Común Monomio
Para factorizar una expresión, se busca el máximo factor común de los términos.
Ejemplo: Factorizar 5x3y2z3 – 15x7y4z2 + 20x5yz3
El factor común es 5x3yz2.
Resultado: 5x3yz2 (y z – 3x4y3 + 4x2z)