Dominando la Notación Científica, Raíces y Potencias: Guía Práctica
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Notación Científica
Un número escrito en notación científica es de la forma a x 10p, donde a es un número real cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10, y el exponente p es un número entero llamado orden de magnitud. Por ejemplo, 43700 = 4.37 x 104 y 2.1 x 105 = 210000.
Operaciones en Notación Científica
Para multiplicar, dividir o calcular potencias de números en notación científica, operamos con los números y las potencias de 10 por separado, utilizando las propiedades de las potencias. Por ejemplo: (6.5 x 104) : (2.5 x 102) = (6.5 : 2.5) x (104 : 102) = 2.6 x 104-2 = 2.6 x 102.
Cuadrados Perfectos, Raíz Cuadrada Exacta y Raíz Entera
Raíz Cuadrada Exacta
Un número a es la raíz cuadrada exacta de otro número b si al elevar a al cuadrado se obtiene b. Por ejemplo: √b = a si a2 = b, con b > 0.
Cuadrados Perfectos
Un número es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es exacta. Por ejemplo: √9 = 3 = 32 y √9 = -3 = (-3)2 = 9. La raíz cuadrada es un número que, multiplicado por sí mismo, da el número del que se hace la raíz.
Raíz Cuadrada Entera
La raíz cuadrada entera de un número b es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que b. Por ejemplo: √b = a si a2 < b < (a+1)2, siendo a un número entero. El resto de esa raíz es la diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera. La raíz cuadrada entera se calcula cuando la raíz no da un número exacto y hay resto.
Aproximación de Raíz Cuadrada
Para calcular la raíz entera de números grandes, podemos estimar entre qué dos cuadrados perfectos se encuentra dicho número. Por ejemplo, un número entre 222 está entre 14 x 14 y 15 x 15. La que se aproxima más a 222 es 14 x 14, que es 196. 222 - 196 (el resto) da 26.
Al calcular la raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado, el resultado es dicho número. Por ejemplo: √32 = 3. Para saber si la raíz está bien calculada, se suma el cuadrado de la raíz entera más el resto.
Potencias
La base es 3 y el exponente es ³, cuando la base de la potencia es un número positivo el resultado es positivo, pero si la base es negativa el resultado dependerá del exponente: si es impar, el resultado es negativo; pero si es par, el resultado es positivo. Una potencia de exponente natural es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales. Por ejemplo: 44 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256.
Operaciones con Potencias de la Misma Base
El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. Por ejemplo: 53 x 54 x 5 = 53+4+1 = 58.
El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Por ejemplo: 78 : 73 = 78-3 = 75.
La potencia de una potencia es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los exponentes. Por ejemplo: (42)3 = 42x3 = 46 y ((-5)4)2 se hace de la misma forma.
Potencias del Mismo Exponente
Multiplicando: (3 x 4)3 = 33 x 43 = 27 x 64 = 1728
Dividiendo: (7 : 5)2 = 72 : 52 = 49 : 25 = 1.96
Potencias y Raíces de Fracciones
La potencia de una fracción es la fracción que resulta de elevar el numerador y el denominador a dicha potencia. Por ejemplo: (2/5)3 = 2/5 * 2/5 * 2/5 = (2*2*2) / (5*5*5) = 8/125 = 23 / 53.
La raíz cuadrada de una fracción la obtenemos calculando la raíz del numerador y la raíz del denominador. Por ejemplo: √(4/9) = +2/3 ya que 2/3 * 2/3 = 4/9 = (-2/3) * (-2/3).
Jerarquía de las Operaciones
En una operación combinada, resolvemos primero las operaciones que aparecen dentro de los paréntesis y de los corchetes, y después el resto, siguiendo esta jerarquía: 1 - Potencias y raíces, 2 - Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), 3 - Sumas y restas.
Debemos tener en cuenta que en una operación combinada con paréntesis y corchetes encadenados, se calculan de dentro hacia fuera.