Dominando Números Reales: Conjuntos, Potencias, Radicales y Fracciones

1. Conjuntos Numéricos y su Clasificación

Los números se agrupan en diferentes conjuntos según sus propiedades:

1. Números Naturales (N): Son los números que usamos para contar.

   • N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
   • Nota: En algunas definiciones, se incluye el 0: N = {0, 1, 2, 3, ...}.

2. Números Enteros (Z): Incluyen los naturales, el 0 y sus opuestos (negativos).

   • Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

3. Números Racionales (Q): Son aquellos que pueden expresarse como una fracción a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0.

   • Incluyen:
     • Fracciones: 3/4, -5/2.
     • Decimales exactos: 0,25 (porque es 1/4).
     • Decimales periódicos: 0,333... (porque es 1/3).

4. Números Irracionales (I): Son números que no pueden expresarse como una fracción a/b. Tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

   • Ejemplos:
     • √2 ≈ 1,4142135...
     • π ≈ 3,141592653...

5. Números Reales (R): Son la unión de los números racionales (Q) y los números irracionales (I).

   • Incluyen todos los números que se pueden representar en la recta numérica.

2. Conversión de Decimales Periódicos a Fracción Irreducible

• Decimal Periódico Puro: La parte decimal se repite completamente.

  Ejemplo: Convertir x = 0,272727...

  1. Llamamos x al número: x = 0,272727...
  2. Multiplicamos por 10ⁿ (donde n es el número de cifras del periodo, en este caso 2): 100x = 27,272727...
  3. Restamos la ecuación original de la nueva ecuación:
     • 100x - x = 27,272727... - 0,272727...
     • 99x = 27
  4. Despejamos x:
     • x = 27/99
  5. Simplificamos la fracción (dividiendo numerador y denominador por 9): x = 3/11

• Decimal Periódico Mixto: La parte decimal tiene una parte no periódica (anteperiodo) seguida de una parte periódica (periodo).

  Ejemplo: Convertir x = 0,3121212...

  1. Llamamos x al número: x = 0,3121212...
  2. Multiplicamos por 10^k+n (donde k es el número de cifras del anteperiodo (1) y n el del periodo (2), total 3): 1000x = 312,121212...
  3. Multiplicamos por 10^k (para mover solo el anteperiodo a la parte entera, k=1): 10x = 3,121212...
  4. Restamos ambas ecuaciones:
     • 1000x - 10x = 312,121212... - 3,121212...
     • 990x = 309
  5. Despejamos x:
     • x = 309/990
  6. Simplificamos la fracción (dividiendo numerador y denominador por 3): x = 103/330

3. Operaciones con Potencias

1. Multiplicación de potencias de igual base

   • Se conserva la base y se suman los exponentes.
   • Fórmula: a^m × aⁿ = a^(m+n).
   • Ejemplo: 2³ × 2² = 2⁽³⁺²⁾ = 2⁵ = 32.

2. División de potencias de igual base

   • Se conserva la base y se restan los exponentes.
   • Fórmula: a^m / aⁿ = a^(m-n).
   • Ejemplo: 5⁴ / 5² = 5^(4-2) = 5² = 25.

3. Potencia de una potencia

   • Se conserva la base y se multiplican los exponentes.
   • Fórmula: (a^m)ⁿ = a^(m×n).
   • Ejemplo: (3²)³ = 3^(2×3) = 3⁶ = 729.

4. Multiplicación de potencias con distinta base y mismo exponente

   • Se multiplican las bases y se mantiene el exponente.
   • Fórmula: aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ.
   • Ejemplo: 2² × 3² = (2×3)² = 6² = 36.

5. División de potencias con distinta base y mismo exponente

   • Se dividen las bases y se mantiene el exponente.
   • Fórmula: aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ.
   • Ejemplo: 8³ / 2³ = (8/2)³ = 4³ = 64.

4. Operaciones con Radicales

1. Suma y resta de radicales

   • Solo se pueden sumar o restar radicales si son semejantes, es decir, si tienen el mismo índice y el mismo radicando.
   • Ejemplo: 2√3 + 5√3 = (2+5)√3 = 7√3.
   • Nota: √2 + √3 no se pueden simplificar más.

2. Multiplicación de radicales

   • Si tienen el mismo índice: Se multiplican los radicandos y se conserva el índice. Fórmula: √[n]a × √[n]b = √[n](a × b).
   • Ejemplo (raíz cuadrada, n=2): √2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4.
   • Si tienen distinto índice: Se reducen a índice común (m.c.m. de los índices) y luego se multiplican.

3. División de radicales

   • Si tienen el mismo índice: Se dividen los radicandos y se conserva el índice. Fórmula: √[n]a / √[n]b = √[n](a / b).
   • Ejemplo (raíz cuadrada, n=2): √6 / √2 = √(6/2) = √3.
   • Si tienen distinto índice: Se reducen a índice común y luego se dividen.

4. Racionalización de denominadores: Proceso para eliminar radicales del denominador.

   • Caso 1: Denominador con un solo radical (√a). Se multiplica numerador y denominador por √a.
     • Ejemplo: 1/√5 → (1 × √5) / (√5 × √5) = √5 / 5.
   • Caso 2: Denominador con un binomio con raíces cuadradas (a + √b) o (√a + √b). Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de a+√b es a-√b, y viceversa).
     • Ejemplo: 1 / (3 + √2) → Multiplicamos por (3 - √2) / (3 - √2).
     • Numerador: 1 × (3 - √2) = 3 - √2.
     • Denominador: (3 + √2) × (3 - √2) = 3² - (√2)² = 9 - 2 = 7. (Usando la identidad (x+y)(x-y) = x² - y²).
     • Resultado: (3 - √2) / 7.