Dominando los Productos Notables: Fórmulas Esenciales y Aplicaciones en Álgebra
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Productos Notables: Fórmulas Esenciales de Álgebra
Los Productos Notables son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Son denominados también Identidades Algebraicas.
Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se les reconoce fácilmente. Las identidades más importantes son:
I. Productos Notables con Binomios
1. Binomio Suma al Cuadrado
El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.
Fórmula:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Binomio Diferencia al Cuadrado
El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.
Fórmula:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3. Diferencia de Cuadrados
El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
Fórmula:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
4. Producto de dos Binomios que tienen un Término Común
El cuadrado del término común, más el producto del término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes.
Fórmula:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
5. Binomio Suma al Cubo
El cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término.
Fórmulas:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Forma Factorizada:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
6. Binomio Diferencia al Cubo
El cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término.
Fórmula:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
II. Factorización de Suma y Diferencia de Cubos
7. Suma de dos Cubos
Se saca la raíz cúbica a cada uno de los dos términos cúbicos para obtener un binomio (la suma de dos números). En base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Fórmula:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
8. Diferencia de Cubos
Se saca la raíz cúbica a cada uno de los dos términos cúbicos para obtener un binomio (la diferencia de dos números). En base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Fórmula:
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
III. Productos Notables con Trinomios
9. Trinomio Suma al Cuadrado (Cuadrado de un Trinomio)
El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.
Fórmulas:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
10. Trinomio Suma al Cubo
Fórmula:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)
IV. Identidades Auxiliares de Legendre
Estas identidades son casos especiales derivados del binomio al cuadrado:
11. Primera Identidad de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2)
12. Segunda Identidad de Legendre
(Nota: Se ha corregido el signo de la operación central para reflejar la identidad matemática correcta, que resulta en 4ab).
(a + b)2 - (a – b)2 = 4ab