Dominando Sistemas de Control: Reguladores PID, Transformada de Laplace y Estrategias de Compensación

Conceptos Clave en Sistemas de Control

A continuación, se definen términos fundamentales en el ámbito de los sistemas de control:

• Margen de Ganancia (MG): Es la ganancia adicional que se puede aplicar a un sistema antes de que se vuelva inestable u oscilatorio. Se determina en la frecuencia donde el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto (GH) es -180 grados (Wf).
• Margen de Fase (MF): Es la fase adicional que se puede agregar a un sistema antes de que se vuelva inestable u oscilatorio. Se determina en la frecuencia donde la magnitud de la función de transferencia de lazo abierto (|GH|) es 0 dB (Wg).
• Ancho de Banda (BW): Es el rango de frecuencias para las cuales la magnitud de la función de transferencia de lazo cerrado tiene un valor superior a 1/√2 (aproximadamente 0.707 o -3 dB).
• Frecuencia de Resonancia (Wr): Es la frecuencia a la cual la función de transferencia en lazo cerrado presenta un valor máximo en su módulo (d|M(jW)|/dW = 0).
• Máximo de Resonancia (Mr): Es el valor máximo de la curva de módulos de la función de transferencia en lazo cerrado, que ocurre en la frecuencia de resonancia (Mr = |M(jWr)|).

Reguladores PID y Métodos de Sintonización

Reguladores PID

Los Reguladores PID (Proporcional-Integral-Derivativo) son ampliamente utilizados en el control industrial. Su formato ISA (Instrument Society of America) se expresa como:

G(s) = Uc(s)/E(s) = k[1 + 1/(Ti·s) + Td·s]

Donde:

• k: Ganancia proporcional
• Ti: Tiempo integral
• Td: Tiempo derivativo

Métodos de Ajuste (Sintonización) de PID

Existen diversas metodologías para sintonizar los parámetros de un regulador PID, buscando optimizar el rendimiento del sistema. Los más comunes incluyen:

1. Método de Ziegler-Nichols:
   • Cadena Abierta: Este método es adecuado para sistemas que, en cadena abierta, no presentan oscilaciones y cuya respuesta ante un escalón es sobreamortiguada. Se registra la respuesta del sistema en cadena abierta ante una entrada tipo escalón (1/s) para obtener parámetros característicos de la curva de reacción.
   • Cadena Cerrada: Se parte del regulador PID ya implementado. Se incrementa la acción proporcional (k) hasta obtener una ganancia crítica (Kcr) en la cual la salida del sistema presenta oscilaciones sostenidas. A partir de Kcr y el periodo crítico (Pcr) de estas oscilaciones, se calculan los parámetros PID.
2. Método del Lugar de las Raíces: Permite sintonizar el controlador analizando la ubicación de los polos de lazo cerrado en el plano complejo a medida que varía un parámetro del controlador.

Tipos de Compensación en Sistemas de Control

La compensación es una técnica utilizada para mejorar el rendimiento de un sistema de control. Existen principalmente tres tipos:

1. Compensación en Serie o Cascada:

   Es el tipo más comúnmente utilizado. El regulador o compensador se sitúa en serie con los elementos de la cadena directa del sistema. Su función es procesar la señal de error y generar la señal de control necesaria para la planta, actuando directamente sobre la trayectoria principal de la señal.

2. Compensación en Paralelo o por Realimentación:

   En este esquema, el compensador o regulador se ubica en un lazo de realimentación interno, afectando una parte específica del sistema o un subsistema, en lugar de la cadena directa completa.

3. Compensación por Prealimentación o Predictiva (Feedforward):

   Este tipo de compensación busca anticiparse a los errores. Actúa de forma correctora antes de que los errores se originen, basándose en la detección de alteraciones en la referencia o la presencia de perturbaciones. Su objetivo es minimizar el impacto de estas antes de que afecten significativamente la salida del sistema.

Propiedades Fundamentales de la Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta matemática esencial para el estudio y diseño de sistemas dinámicos. A continuación, se presentan sus propiedades más importantes:

1. Linealidad:

   L[a·f(t)] = a·L[f(t)] = a·F(s)

2. Superposición:

   L[a1·f1(t) + a2·f2(t)] = a1·L[f1(t)] + a2·L[f2(t)] = a1·F1(s) + a2·F2(s)

3. Traslado en el Tiempo (Teorema de Traslación Real):

   L[f(t - α)·u(t - α)] = e^(-αs)·F(s) (donde u(t-α) es la función escalón unitario, indicando causalidad)

   Esta propiedad establece que un traslado en el dominio del tiempo (hacia t positiva) se corresponde con una multiplicación por una exponencial e^(-αs) en el dominio complejo 's'.

4. Traslado en el Campo 's' (Teorema de Traslación Compleja):

   L[e^(±αt)·f(t)] = F(s ∓ α)

   La multiplicación por una exponencial en el dominio del tiempo equivale a un traslado en el dominio complejo 's'.

5. Cambio de Escala de Tiempos:

   Si se cambia 't' por 't/α', entonces:

   L[f(t/α)] = α·F(αs)

6. Derivación en el Dominio del Tiempo (Derivación Real):

   L[d/dt f(t)] = s·F(s) - f(0)

   Para derivadas de orden superior, la propiedad se extiende.

7. Derivación en el Campo 's' (Derivación Compleja):

   L[t·f(t)] = -d/ds F(s)

8. Integración en el Dominio del Tiempo (Integración Real):

   L[∫ f(τ) dτ desde 0 hasta t] = F(s)/s