Dominando la Trigonometría: Resolución de Problemas y Ejercicios Paso a Paso

Ejercicio 1: Cálculo de todas las razones trigonométricas

1. Identifica el cuadrante: Escribe que, al estar en el III cuadrante, el seno y el coseno deben ser negativos.

2. Halla el Coseno: Usa la fórmula 1 + tg² α = 1 / cos² α. Sustituye la tangente por 3, despeja cos² α y realiza la raíz cuadrada (elige el valor negativo).

3. Halla el Seno: Usa la relación sen α = tg α · cos α. Multiplica los valores que ya has obtenido.

4. Halla las razones inversas:

   • ctg α = 1 / tg α

   • sec α = 1 / cos α

   • cosec α = 1 / sen α

5. Racionaliza: Asegúrate de que no queden raíces en el denominador (multiplica el numerador y el denominador por la raíz).

Ejercicio 2: Razones de 30°, 45° y 60°

1. Dibuja los polígonos:

   • Para 30° y 60°: Dibuja un triángulo equilátero de lado L. Pártelo a la mitad con la altura.

   • Para 45°: Dibuja un cuadrado de lado L y su diagonal.

2. Calcula la altura o diagonal: Usa el Teorema de Pitágoras para hallar el lado que falta en función de L.

3. Aplica definiciones: Escribe sen = opuesto / hipotenusa, cos = contiguo / hipotenusa y simplifica las L.

Ejercicio 3: Reducción al primer cuadrante

1. Reduce el ángulo: Si es mayor de 360°, divídelo entre 360 y quédate con el resto.

2. Ubica el cuadrante: Dibuja una circunferencia goniométrica y observa en qué cuadrante cae el resto.

3. Aplica el signo: Coloca el signo (+ o -) que le corresponda a esa razón en dicho cuadrante.

4. Busca el equivalente: Relaciónalo con un ángulo conocido (30°, 45° o 60°).

Ejercicio 4: El problema del pino (Doble observación)

1. Dibuja dos triángulos rectángulos: Uno con un ángulo de 42° y otro con 24°. Llama h a la altura y x a la distancia desconocida.

2. Plantea el sistema:

   • tg 42° = h / x

   • tg 24° = h / (x + 2,5)

3. Resuelve por igualación: Despeja h en ambas ecuaciones (h = x · tg 42° y h = (x + 2,5) · tg 24°), iguala y halla x. Luego, sustituye para hallar h.

Ejercicio 5: El avión (Triángulo no rectángulo)

1. Dibuja el triángulo: Sitúa las ciudades A y B en la base (separadas 75 km) y el avión en el punto superior.

2. Halla el tercer ángulo: El ángulo donde se encuentra el avión es 180° - 36° - 12° = 132°.

3. Aplica el Teorema del Seno: Usa 75 / sen 132° = d / sen 12° para hallar la distancia (d) desde la ciudad A al avión.

4. Halla la altura: Utiliza el triángulo rectángulo imaginario que baja del avión: altura = d · sen 36°.

Ejercicio 6: Ecuación trigonométrica

1. Despeja el ángulo: Consulta la tabla y busca qué ángulos tienen el seno igual a -√2 / 2 (estos son 225° y 315°).

2. Escribe las soluciones generales:

   • 5α = 225° + 360° · k

   • 5α = 315° + 360° · k

3. Divide por 5: Divide tanto el ángulo como los 360° para obtener la solución final de α.