Dominio, Recorrido y Características de las Funciones

Funciones Matemáticas

Definición y Conceptos Básicos

Una función es una correspondencia que asocia a cada elemento de un determinado conjunto de números reales, un único número real que se designa como y = f(x).

• Variable independiente (x): Su valor se fija previamente.
• Variable dependiente (y): Su valor se deduce de la variable independiente.
• Dominio de una función (D(f)): Conjunto de todos los valores que toma la variable independiente.
• Recorrido de una función (R(f)): Conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

Tasa de Variación

La tasa de variación de una función f, al pasar del punto a al punto b, viene dada por la siguiente expresión: TV(a, b) = f(b) - f(a).

• Función creciente: En un intervalo, si para cualquier par de valores a y b dentro de este intervalo, con a < b, la tasa de variación es positiva.
• Función decreciente: En un intervalo, si para cualquier par de valores a y b dentro de este intervalo, con a > b, la tasa de variación es negativa.

Máximos y Mínimos

• Mínimo relativo: En x = a si existe un entorno del punto a en el que los valores que toma la función son menores o iguales que f(a).
• Máximo relativo: En x = a si existe un entorno del punto a en el que los valores que toma la función son mayores o iguales que f(a).
• Máximo absoluto: En x = a si f(a) es mayor o igual que el valor f(x) en cualquier otro punto del dominio de la función.
• Mínimo absoluto: En x = a si f(a) es menor o igual que el valor f(x) en cualquier otro punto del dominio de la función.

Funciones Periódicas y Acotadas

• Función periódica: Una función f es periódica de periodo T si para todos los puntos del dominio se verifica que: f(x + T) = f(x).
• Función acotada inferiormente: Si existe un número real k tal que, para todo x, se cumple f(x) > k. El número k se llama cota inferior.
• Función acotada superiormente: Si existe un número real k' tal que, para todo x, se cumple f(x) < k'. El número k' se llama cota superior.

Funciones Simétricas

• Función simétrica respecto al eje de ordenadas (función par): Cuando, para todo x del dominio, se verifica que f(-x) = f(x).
• Función simétrica respecto al origen (función impar): Cuando, para todo x del dominio, se verifica que f(-x) = -f(x).

Funciones Lineales y Cuadráticas

• Funciones lineales: Las funciones de la forma y = mx + n se denominan funciones lineales. Sus gráficas son rectas.
  • m es la pendiente de la recta. Si m > 0, es creciente; si m < 0, es decreciente.
  • n es la ordenada al origen, es decir, el valor de y cuando x = 0.
• Funciones cuadráticas: Las funciones de la forma y = ax² + bx + c, con a ≠ 0, se llaman funciones cuadráticas. Sus gráficas son parábolas.
  • Si a > 0, la parábola abre hacia arriba; si a < 0, abre hacia abajo.
  • El eje de la parábola es la recta x = -b / 2a, y el vértice, V, es el punto de la parábola que tiene abscisa x = -b / 2a.