Ecuación de la circunferencia tangente a 3x-2y-6=0 y que pasa por A(-2, 1) y B(4, 3)
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Problema
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-2, 1) y es tangente a la recta de ecuación 3x - 2y - 6 = 0 en el punto B(4, 3).
SOLUCIÓN
Paso 1: Recta dada y recta perpendicular en B
Llamemos a la recta dada L2. Buscamos la recta perpendicular que pasa por el punto B(4, 3).
Buscamos la pendiente de L2:
3x - 2y - 6 = 0 <=> 2y = 3x - 6 <> y = (3/2)x - 3.
Por tanto, la pendiente de L2 es m2 = 3/2. La pendiente de la recta perpendicular es m1 = -1/m2 = -1/(3/2) = -2/3.
La recta perpendicular a L2 que pasa por B tiene ecuación
y - 3 = (-2/3)(x - 4) <=> y - 3 = -2/3 x + 8/3 <=> y = -2/3 x + 17/3.Denotaremos a esta recta perpendicular por L1.
Paso 2: Recta que une A y B, su perpendicular en el punto medio
El segmento AB corresponde a la recta que llamaremos L4. Buscamos su pendiente y ecuación:
m = (3 - 1) / (4 - (-2)) = 2 / 6 = 1/3.
Ecuación de L4 (usando A (-2, 1)):
y - 1 = (1/3)(x + 2) <=> y - 1 = 1/3 x + 2/3 <=> y = 1/3 x + 5/3.La recta perpendicular a L4 tendrá pendiente m3 = -1/(1/3) = -3.
Buscamos el punto medio del segmento AB:
pm = ((-2 + 4)/2, (1 + 3)/2) = (1, 2).La ecuación de la recta perpendicular a L4 que pasa por el punto medio (denotada L3) es:
y - 2 = -3(x - 1) <=> y - 2 = -3x + 3 <=> y = -3x + 5.Paso 3: Intersección entre L1 y L3 (centro de la circunferencia)
Buscamos el punto de intersección entre L1 y L3. Igualamos ambas ecuaciones:
-2/3 x + 17/3 = -3x + 5.
Multiplicamos por 3 para simplificar: -2x + 17 = -9x + 15 <=> 7x = -2 <=> x = -2/7.
Sustituimos x = -2/7 en cualquiera de las dos ecuaciones (por ejemplo en L3):
y = -3(-2/7) + 5 = 6/7 + 5 = 6/7 + 35/7 = 41/7.El centro de la circunferencia es C = ( -2/7 , 41/7 ).
Paso 4: Cálculo del radio y ecuación de la circunferencia
Existen varias formas de hallar el radio: usando la fórmula de la distancia entre dos puntos (centro y A) o la distancia de un punto a una recta. Usaremos la distancia entre C y A.
A = (-2, 1), C = (-2/7, 41/7). Calculamos las diferencias:
x_C - x_A = (-2/7) - (-2) = -2/7 + 14/7 = 12/7,
y_C - y_A = 41/7 - 1 = 41/7 - 7/7 = 34/7.r^2 = (12/7)^2 + (34/7)^2 = (144 + 1156) / 49 = 1300 / 49.
Por tanto, r = sqrt(1300) / 7 = (10 * sqrt(13)) / 7.Forma centro-radio:
(x + 2/7)^2 + (y - 41/7)^2 = 1300/49.Forma general (multiplicando y simplificando):
Multiplicando por 49: (7x + 2)^2 + (7y - 41)^2 = 1300
<=> 49x^2 + 49y^2 + 28x - 574y + 1685 = 1300
<=> 49x^2 + 49y^2 + 28x - 574y + 385 = 0.
Dividiendo entre 7 para simplificar:
7x^2 + 7y^2 + 4x - 82y + 55 = 0.
Resultado final
Centro: C = ( -2/7 , 41/7 ).
Radio: r = (10 · sqrt(13)) / 7.
Ecuación (forma centro-radio): (x + 2/7)^2 + (y - 41/7)^2 = 1300/49.
Ecuación (forma general simplificada): 7x^2 + 7y^2 + 4x - 82y + 55 = 0.