Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Sistemas Dinámicos

BLOQUE 3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1. Ecuación del modelo: Resolvemos la ecuación diferencial ordinaria (EDO) por separación de variables.
2. Integración: Integramos ambos lados de la ecuación. En un lado tendremos un término ln y en el otro un término e^t.
3. Solución implícita: Identificamos la constante de integración K y obtenemos la solución implícita.
4. Condición inicial: Calculamos el valor de K utilizando la condición inicial, por ejemplo, P(0) = 200.
5. Sustitución de K: Sustituimos el valor de K en la ecuación.
6. Cálculo de r: Utilizando una identidad proporcionada, como P(10) = 300, obtenemos el valor de r.
7. Solución completa: Sustituimos el valor de r en la ecuación. Con los valores de K y r conocidos, podemos calcular P(t) para cualquier valor de t.

BLOQUE 4: Sistemas Dinámicos

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneos

1. Representación matricial: Expresamos el sistema en forma matricial: X'(t) = A · X(t), donde X(t) es el vector de variables, A es la matriz de coeficientes y X(0) es el vector de condiciones iniciales. La solución general es X(t) = e^At · X₀.
2. Diagonalización de A: Calculamos el determinante |A - λI| = 0 para determinar los valores propios (λ) y verificar si A es diagonalizable. Si los valores propios son distintos, A es diagonalizable.
3. Vectores propios y matriz diagonal: Calculamos los vectores propios resolviendo el sistema (A - λI)v = 0. Con los valores y vectores propios, hallamos la matriz diagonal D y la matriz de cambio de base P, de manera que A = P · D · P^-1. Entonces, e^At = P · e^Dt · P^-1.

Ejemplo de análisis de clientes

¿Se quedará sin clientes alguna tienda?

• Ejemplo: X₂(t) = 40e^6t + 140e^-3t siempre tendrá clientes porque es una suma de productos de números positivos.
• En cambio: X₁(t) = -50e^6t + 140e^-3t podría cerrar si X₁(t) = 0 en algún momento.

Análisis del límite:

• lím_t->∞ X₁(t) = lím_t->∞ (-50e^6t + 140e^-3t) = -∞ + 0, ya que 6 > 0 y -3 < 0.
• Como lím_t->∞ X₁(t) = -∞, entonces X₁(t) = 0 para algún valor de t. Es decir, la tienda X₁ se quedará sin clientes en algún instante.

Cálculo del tiempo:

• X₁(t) = 0 -> -50e^6t + 140e^-3t = 0
• 50e^6t = 140e^-3t
• e^9t = 14/5
• 9t = ln(14/5)
• t = (1/9)ln(14/5)

Otro caso:

• lím_t->∞ (-70e^7t + 270e^2t) (indeterminación ∞ - ∞)
• Multiplicamos y dividimos por e^7t: lím_t->∞ [(-70e^7t + 270e^2t)e^7t]/e^7t = lím_t->∞ (-70 + 270e^-5t)e^7t = (-70 + 0) · ∞ = -∞

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias No Homogéneos

1. Representación matricial: Definimos el sistema matricialmente: X'(t) = A · X(t) + b, donde X(t), A, b y X(0) son el vector de variables, la matriz de coeficientes, el vector de términos independientes y el vector de condiciones iniciales, respectivamente. La solución es: X(t) = e^At(X(0) + A^-1 · b) - A^-1 · b.
2. Diagonalización de A: Calculamos los valores propios de A. Si son distintos, A es diagonalizable.
3. Vectores propios: Calculamos los vectores propios de A.
4. Matrices D y P: Obtenemos las matrices D (diagonal) y P (cambio de base) tales que A = P · D · P^-1.
5. Cálculo de A^-1 · b: Calculamos A^-1 · b.
6. Cálculo de X(0) + A^-1 · b: Calculamos X(0) + A^-1 · b.
7. Solución: Sustituimos en la fórmula de la solución: X(t) = e^At(X(0) + A^-1 · b) - A^-1 · b.
8. Trayectorias temporales: Obtenemos las trayectorias temporales. Ejemplo: P₁(t) = -2e^-6t + 3e^-2t + 9/2, P₂(t) = 5e^-6t + e^-2t + 21/4.
9. Comportamiento a largo plazo: Analizamos el límite cuando t tiende a infinito. Ejemplo: lím_t->∞ P₁(t) = 0 + 0 + 9/2 = 9/2, porque -6 < 0 y -2 < 0. lím_t->∞ P₂(t) = 0 + 0 + 21/4 = 21/4.