Ecuaciones Fundamentales de Rectas y Planos en Geometría 3D

Ecuaciones de la Recta en el Espacio

Una recta r en el espacio tridimensional queda determinada por un punto P(P_x, P_y, P_z) por el que pasa y un vector director v(v_x, v_y, v_z) que indica su dirección.

Tipos de Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial: Representa cualquier punto (x, y, z) de la recta como la suma del punto P y un múltiplo escalar (λ) del vector director.

  (x, y, z) = (Px, Py, Pz) + λ(vx, vy, vz)

• Ecuaciones Paramétricas: Se obtienen descomponiendo la ecuación vectorial en sus componentes.

  x = Px + λvx
y = Py + λvy
z = Pz + λvz

• Ecuación Continua: Se obtiene despejando el parámetro λ en las ecuaciones paramétricas e igualando (válida si v_x, v_y, v_z son distintos de cero).

  (x - Px) / vx = (y - Py) / vy = (z - Pz) / vz

• Ecuación General o Implícita: Se expresa como la intersección de dos planos. No hay una única ecuación general para la recta.

  { A1x + B1y + C1z + D1 = 0
{ A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Ecuaciones del Plano en el Espacio

Un plano π en el espacio queda determinado por un punto P(P_x, P_y, P_z) contenido en él y dos vectores directores no paralelos u(u_x, u_y, u_z) y v(v_x, v_y, v_z) contenidos en el plano. Alternativamente, puede definirse por un punto P y un vector normal n(A, B, C) perpendicular al plano.

Tipos de Ecuaciones del Plano

• Ecuación Vectorial: Cualquier punto (x, y, z) del plano se expresa como la suma del punto P y combinaciones lineales de los vectores directores u y v.

  (x, y, z) = (Px, Py, Pz) + λ(ux, uy, uz) + μ(vx, vy, vz)

• Ecuaciones Paramétricas: Descomponiendo la ecuación vectorial en componentes.

  x = Px + λux + μvx
y = Py + λuy + μvy
z = Pz + λuz + μvz

• Ecuación General o Implícita (o Normal): Tiene la forma Ax + By + Cz + D = 0, donde (A, B, C) son las componentes del vector normal n al plano.

  Obtención de la Ecuación General:

  1. Calcular el vector normal n como el producto vectorial de los vectores directores: n = u × v = (A, B, C).
  2. Sustituir las componentes del vector normal (A, B, C) en la ecuación: Ax + By + Cz + D = 0.
  3. Hallar el término independiente D imponiendo que el punto P pertenezca al plano: A(Px) + B(Py) + C(Pz) + D = 0, de donde D = -(APx + BPy + CPz).
  4. Alternativamente, se puede obtener calculando el determinante formado por el vector genérico (X-P) y los vectores directores, e igualándolo a cero: det( (x-Px, y-Py, z-Pz), u, v ) = 0.

  Nota: El vector normal n(A, B, C) se obtiene directamente de los coeficientes de x, y, z en la ecuación general.

Operaciones y Propiedades

Producto Escalar

El producto escalar entre dos vectores u y v se define como: u · v = |u| |v| cos(α), donde α es el ángulo entre los vectores.

Cálculo de Ángulos

• Ángulo entre dos Planos (π₁ y π₂): Se calcula usando el ángulo que forman sus vectores normales n₁ y n₂.

  cos(α) = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)

• Ángulo entre Recta (r) y Plano (π): Se calcula usando el ángulo (β) entre el vector director de la recta v_r y el vector normal del plano n_π. El ángulo α entre la recta y el plano es el complementario de β (α = 90º - β).

  sin(α) = cos(β) = |vr · nπ| / (|vr| |nπ|)

Obtención de Rectas y Planos

• Recta que pasa por dos puntos A y B:
  1. Calcular el vector director: v = B - A.
  2. Usar uno de los puntos (A o B) y el vector director v en cualquiera de las ecuaciones de la recta.
• Plano que contiene tres puntos no alineados A, B, C:
  1. Calcular dos vectores directores: u = B - A, v = C - A.
  2. Usar uno de los puntos (A, B o C) y los vectores directores u y v en cualquiera de las ecuaciones del plano (vectorial, paramétricas o general).
• Recta perpendicular a un plano π que pasa por un punto P:
  1. El vector director de la recta es el vector normal del plano: v_r = n_π.
  2. Usar el punto P y el vector director v_r en las ecuaciones de la recta.
• Plano perpendicular a una recta r que pasa por un punto P:
  1. El vector normal del plano es el vector director de la recta: n_π = v_r = (A, B, C).
  2. La ecuación general del plano es A(x - Px) + B(y - Py) + C(z - Pz) = 0. Se puede desarrollar para obtener Ax + By + Cz + D = 0.

Posiciones Relativas

Posición Relativa entre dos Rectas (r y s)

Sean r(P_r, v_r) y s(P_s, v_s). Se estudia el rango de la matriz M formada por los vectores directores y la matriz ampliada M' formada por los vectores directores y el vector P_rP_s = P_s - P_r.

M = (vr | vs) ; M' = (vr | vs | Ps - Pr)

• Coincidentes: rango(M) = 1, rango(M') = 1. (Vectores directores proporcionales y P_rP_s proporcional a ellos).
• Paralelas: rango(M) = 1, rango(M') = 2. (Vectores directores proporcionales pero P_rP_s no lo es).
• Secantes: rango(M) = 2, rango(M') = 2. (Vectores directores no proporcionales, det(M') = 0, sistema compatible determinado).
• Se cruzan: rango(M) = 2, rango(M') = 3. (Vectores directores no proporcionales, det(M') ≠ 0, sistema incompatible).

Posición Relativa entre dos Planos (π₁ y π₂)

Sean π₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 y π₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Se comparan los coeficientes:

• Coincidentes: A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = D1/D2 (Todos los coeficientes son proporcionales).
• Paralelos: A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 ≠ D1/D2 (Coeficientes de x, y, z proporcionales, pero término independiente no).
• Secantes: Los coeficientes de x, y, z no son proporcionales (A1/A2, B1/B2, C1/C2 no son todos iguales). Se cortan en una recta.

Posición Relativa entre Recta (r) y Plano (π)

Sean r(P_r, v_r) y π con vector normal n_π y ecuación Ax + By + Cz + D = 0.

• Recta contenida en el plano: v_r · n_π = 0 (vectores perpendiculares) y el punto P_r pertenece al plano (AP_rx + BP_ry + CP_rz + D = 0).
• Recta paralela al plano: v_r · n_π = 0 (vectores perpendiculares) y el punto P_r no pertenece al plano (AP_rx + BP_ry + CP_rz + D ≠ 0).
• Recta secante al plano: v_r · n_π ≠ 0 (vectores no perpendiculares). Se cortan en un punto.