Ecuaciones de la Recta en Geometría Analítica: Formas Vectorial, Paramétrica y Cartesiana

Conceptos Fundamentales de la Recta

Observación 4.6. Equivalencia de Formas Vectoriales

Note que las dos formas de determinar la ecuación son equivalentes, pues en la segunda forma el vector director es d = b − a.

Ejemplo 4.4. Determinación de la Ecuación Vectorial de una Recta

Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P(1, 2, 3) y Q(3, 3, 7).

Solución:

Tenemos los vectores posición a = (1, 2, 3) y b = (3, 3, 7). Entonces, como vector director, usamos d = b − a = (3, 3, 7) − (1, 2, 3) = (2, 1, 4). Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta es r = (1, 2, 3) + λ(2, 1, 4).

Ecuación Paramétrica y Cartesiana de la Recta en R²

Considere una recta que pasa por el punto P(a, b), con vector director d = (d₁, d₂).

Su ecuación vectorial es r = p + λd, lo que puede ser escrito como:

(x, y) = (a, b) + λ(d₁, d₂)

Igualando coordenada a coordenada, llegamos a la ecuación paramétrica:

x = a + λd₁
y = b + λd₂

Despejando λ de cada expresión e igualando, obtenemos la ecuación cartesiana:

(x − a)/d₁ = (y − b)/d₂

Observación 4.7. Pendiente de la Recta

La ecuación anterior también puede ser escrita como:

d₂/d₁ = (y − b)/(x − a)

Es decir, el número d₂/d₁ es la pendiente de la recta.

Ecuación Paramétrica y Cartesiana de la Recta en R³

Considere una recta que pasa por el punto P(a, b, c), con vector director d = (d₁, d₂, d₃).

Su ecuación vectorial es r = p + λd, lo que puede ser escrito como:

(x, y, z) = (a, b, c) + λ(d₁, d₂, d₃)

Igualando coordenada a coordenada, llegamos a la ecuación paramétrica:

x = a + λd₁
y = b + λd₂
z = c + λd₃

Despejando λ e igualando, obtenemos la ecuación cartesiana:

(x − a)/d₁ = (y − b)/d₂ = (z − c)/d₃

Puntos Colineales

Definición 4.5. Puntos Colineales

Los puntos P₁, P₂, ..., P_n se dicen colineales si pertenecen todos a una misma recta.

Ejemplo 4.5. Verificación de Colinealidad

Determine si los siguientes tres puntos son colineales: P(1, 2, 3), Q(3, 3, 7) y R(−1, 1, −1).

Solución:

Por lo hecho en el Ejemplo 4.4, la ecuación vectorial que contiene a P y Q es: r = (1, 2, 3) + λ(2, 1, 4).

Por lo tanto, basta verificar si el punto R pertenece a esta recta; es decir, verificar si existe un λ tal que:

(−1, 1, −1) = (1, 2, 3) + λ(2, 1, 4).

Equivalentemente:

(−1, 1, −1) = (1 + 2λ, 2 + λ, 3 + 4λ).

Igualando por coordenadas, obtenemos que λ = −1 en cada caso:

• Para la coordenada x: -1 = 1 + 2λ → 2λ = -2 → λ = -1
• Para la coordenada y: 1 = 2 + λ → λ = -1
• Para la coordenada z: -1 = 3 + 4λ → 4λ = -4 → λ = -1

Dado que existe un valor consistente de λ para todas las coordenadas, el punto R sí pertenece a la recta que une a P y Q; por ende, los tres puntos son colineales.