Ecuaciones, sucesiones y funciones: fórmulas y resolución paso a paso

Ecuación de 2.º grado:

Fórmula general (completa)

Fórmula: x = (-b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

En palabras:

x = menos b, más o menos la raíz de b al cuadrado menos cuatro por a por c, todo ello dividido entre 2 por a.

Casos especiales

Incompleta:

• ax + bx = 0 — Ejemplo: 4x² + 8x = 0

  Factorizamos: x(4x + 8) = 0 → x = 0 o 4x + 8 = 0 → x = -2

• ax + c = 0 — Ejemplo: x² − 9 = 0

  Despejamos: x² = 9 → x = ±√9 → x = ±3

Método de sustitución

Ejemplo:

2x + 5y = 7

6x − y = 5 → Despejamos y: y = 6x − 5

Sustituimos en la primera ecuación: 2x + 5(6x − 5) = 7 → 2x + 30x − 25 = 7 → 32x − 25 = 7 → 32x = 32 → x = 1

Ahora reemplazamos x en 2x + 5y = 7: 2·1 + 5y = 7 → 5y = 5 → y = 1

Método de reducción

Explicación:

Se multiplica una de las ecuaciones por un número de modo que al sumar o restar las ecuaciones se elimine una de las incógnitas (x o y). Así se obtiene una ecuación con una sola incógnita; una vez resuelta, se sustituye ese valor en una de las ecuaciones originales para hallar la otra incógnita.

Método de igualación

Ejemplo:

5x + 3y = 7 → 3y = 7 − 5x → y = (7 − 5x) / 3

3x + 4y = 2 → 4y = 2 − 3x → y = (2 − 3x) / 4

Igualamos ambas expresiones de y:

(7 − 5x) / 3 = (2 − 3x) / 4

Multiplicamos por 12 (mcm de 3 y 4): 4(7 − 5x) = 3(2 − 3x) → 28 − 20x = 6 − 9x →

−20x + 9x = 6 − 28 → −11x = −22 → x = 2

Luego se halla y sustituyendo x en cualquiera de las ecuaciones iniciales.

Una sucesión es un conjunto de números ordenados. Cada uno de sus elementos es un término de la sucesión.

La sucesión se obtiene sumando o restando un número fijo d (la diferencia).

Término general: a_n = a₁ + (n − 1)d

• a₁: primer término
• d: diferencia (de un término al siguiente)

Hacemos el término general para después poder averiguar la posición de cada número.

Suma de los n términos: S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Se usa la suma para averiguar, por ejemplo, la suma de los 12 primeros términos si así lo solicitan.

Cada término se obtiene multiplicando o dividiendo por la razón r.

Término general: a_n = a₁ · rⁿ⁻¹

Suma de los n términos (r ≠ 1): S_n = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)

Suma de los términos infinitos: si |r| < 1, S = a₁ / (1 − r)

Dominio: se refiere a los valores posibles de la variable x.

Imagen (o rango): se refiere a los valores posibles de y.

Máximos y mínimos relativos: se analizan en función de las abscisas (x) y corresponden a valores concretos en las ordenadas (y).

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: se determinan observando cómo varía la función respecto a x.

Eje de abscisas (eje X): (…, 0)

Eje de ordenadas (eje Y): (0, …)

Funciones lineales y afines

Funciones lineales: f(x) = m · x

Funciones afines: f(x) = m · x + n

Se han corregido la ortografía, la puntuación y la notación matemática para facilitar la lectura y el estudio. Si desea, puedo añadir ejemplos resueltos adicionales o ejercicios propuestos con sus soluciones.