Ejercicios de álgebra: ecuaciones lineales, inecuaciones, sistemas y funciones

Actividades

Actividad 1: Verdadero o falso

Leer los siguientes enunciados y encerrar el literal que consideres falso.

• a) Si, al resolver una ecuación, se llega a una expresión de la forma 0 = b, con b distinto de cero, la ecuación no tiene solución. Se dice entonces que es incompatible.
• b) Se debe agrupar todos los términos con x en un miembro de la ecuación y los términos independientes en el otro miembro para poder operar.
• c) Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica en la que aparece una incógnita elevada a la primera potencia.
• d) Si un término tiene signo positivo en un miembro de la ecuación, pasa al otro miembro con signo negativo, y viceversa. Esto se da cuando se trata de la suma o la resta.

Actividad 2: Traducción al lenguaje algebraico

Escribir en lenguaje algebraico las siguientes preguntas coloquiales.

• a) ¿Qué número, aumentado en cinco, es igual a 287?

  Ec.: x + 5 = 287

• b) ¿Cuál es el número que, al restarle 2/5 de sí mismo y sumarle 7, es igual a 25?

  Ec.: x - (2/5)x + 7 = 25

Actividad 3: Comprobación de soluciones

Observar la siguiente tabla y escribir (V) si la solución de la ecuación es correcta o (F) si es falsa.

Ecuación    Solución    V o F

• 8 - i = 6.  i = 2.   V
• a + 15 = 20.  a = -5.   F
• b + 8 = 12.  b = 4.   V
• 7 - n = 10.  n = -3.   V

Determinación de la incógnita

Determinar el valor de la incógnita m y encerrar la respuesta correcta.

3(m - 7) = 5(m - 1) - 4m

• a) m = 5
• b) m = 6
• c) m = 7
• d) m = 8

Resolución:

3(m - 7) = 5(m - 1) - 4m

3m - 21 = 5m - 5 - 4m

3m - 21 = m - 5

3m - m = -5 + 21

2m = 16

m = 8

Respuesta: d) m = 8.

Resolución de inecuación lineal

Resolver la siguiente inecuación lineal y encerrar la respuesta correcta.

Enecuación: 3(2x - 1) > 3 - 5(x - 1)

• a) x > 3
• b) x > 1
• c) x > -2
• d) x > 2

Resolución:

Expandimos ambos miembros:

3(2x - 1) = 6x - 3

3 - 5(x - 1) = 3 - 5x + 5 = 8 - 5x

Entonces: 6x - 3 > 8 - 5x

6x + 5x > 8 + 3

11x > 11

x > 1

Respuesta: b) x > 1.

Sistema de ecuaciones

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por cualquier método estudiado y encerrar la respuesta correcta:

⎧ 2x + 3y = 12

⎨ x - y = 1

⎩

• a) x = -1, y = 4
• b) x = -2, y = 3
• c) x = 3, y = 2
• d) x = 1, y = 2

Resolución:

De la segunda ecuación: x = y + 1. Sustituimos en la primera:

2(y + 1) + 3y = 12 → 2y + 2 + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2

x = y + 1 = 3

Respuesta: c) x = 3, y = 2.

Ejercicio 7: Perímetro y área de un cuadrado

Encerrar el literal de la respuesta correcta.

Un cuadrado mide de lado 2x - 3. Las expresiones correspondientes a su perímetro y su área son:

• a) P = 8x - 3. A = 4x² + 12x + 6
• b) P = 4x - 6. A = 4x² + 9
• c) P = 8x - 12. A = 4x² - 12x + 9
• d) P = 4x - 6. A = 4x² - 9

Resolución:

P = 4 · (2x - 3) = 8x - 12

A = (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9

Respuesta: c) P = 8x - 12. A = 4x² - 12x + 9.

Actividad 8: Relación gráfica

Relaciona cada gráfico con la función a la que pertenece.

Respuesta propuesta: 1 → b, 2 → c, 3 → d, 4 → a

Actividad 9: Racionalización

Resolver los siguientes ejercicios de racionalización aplicando las propiedades estudiadas.

1. 1 / ∛(a²). Racionalizar multiplicando por ∛a / ∛a:

   1 / ∛(a²) · ∛a / ∛a = ∛a / ∛(a³) = ∛a / a

   Resultado: ∛a / a

2. 2 / ∛((a + b)²). Racionalizar multiplicando por ∛(a + b) / ∛(a + b):

   2 / ∛((a + b)²) · ∛(a + b) / ∛(a + b) = 2·∛(a + b) / (a + b)

   Resultado: 2·∛(a + b) / (a + b)

Composición de funciones

Determina (g ∘ f)(x) para las siguientes funciones:

f(x) = 3x + 3; g(x) = x - 1

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = f(x) - 1 = (3x + 3) - 1 = 3x + 2

Resultado: (g ∘ f)(x) = 3x + 2 (opción d).

Distancia entre puntos

Encontrar la distancia entre los siguientes puntos.

Nota: en el enunciado no se especificaron los puntos; por tanto, no es posible calcular la distancia sin esa información.

Recta y puntos en el plano

Observa la siguiente gráfica y termina la ecuación de la recta. En el enunciado aparece:

Respuesta: y = 2x + 1; en el plano: P(1, 3). También se indica P(1, -1) (aparecen ambos puntos en el enunciado).

Función cuadrática: elementos

Observa la siguiente imagen; identifica los elementos de una función cuadrática:

• Eje de simetría: x = 1
• Vértice: V(1, 4)
• Raíces: x₁ = (1, 0) y x₂ = (3, 0)