Ejercicios de Progresiones Geométricas Infinitas y Aplicaciones Prácticas

Ejercicios de Progresiones Geométricas y Series

A continuación, se presenta una serie de problemas avanzados sobre progresiones geométricas, su comportamiento en el infinito y aplicaciones en contextos reales.

1. Determinación de Términos y Sumas

2. ¿Desde qué término la progresión geométrica {0,6; 0,6²; 0,6³; ...} vale: t_n < 10^-9?

3. Determinar desde qué término la progresión geométrica {1/2, 1/4, 1/8, ...} vale: S_n > 1 − 10^-6.

2. Conversión de Decimales Periódicos

5. Expresar los siguientes decimales periódicos como una fracción común:

• (a) 0,272727...
• (b) 2,0454545...
• (c) 12,3423423... (indicado como 12,3423---42)

3. Convergencia y Límites en Series Infinitas

6. En una progresión geométrica infinita cuyo primer término es 1 y la razón r = −0,7; calcular el valor mínimo de n para el cual |S − S_n| < 10^-9.

7. Se tiene una progresión geométrica infinita con a = 1 y r = x² − x.

• (a) ¿Para qué valores de x la progresión tiene una suma?
• (b) Hallar entonces el valor mínimo S de esta suma.

9. Obtener una serie geométrica infinita cuya suma es 6 y tal que cada término es 4 veces la suma de todos los términos que le siguen.

4. Aplicaciones Prácticas y Geométricas

11. Una pelota de tenis se deja caer desde una altura de 12 m. Cada vez que la pelota golpea la cancha de tenis, ésta rebota hasta alcanzar una altura de tres cuartas partes de la distancia desde la cual cayó. Calcule la distancia total que recorre la pelota antes de llegar al reposo.

13. La longitud del lado de un triángulo equilátero es de 4 unidades; por lo tanto, su perímetro es de 12 unidades. Otro triángulo se construye trazando segmentos de recta que pasan por los puntos medios de los lados del primer triángulo. Este triángulo tiene lados de 2 unidades de longitud y su perímetro es 6 unidades. Si este proceso se puede repetir un número ilimitado de veces, ¿cuál es el perímetro total de todos los triángulos que se forman?

5. Propiedades Avanzadas de las Progresiones

14. La suma de una progresión geométrica infinita es 6. La suma de los términos con subíndice impar es 4. Calcular el primer término t₁.

17. En una progresión geométrica infinita a = 1 y r = 1/2. ¿Cuántos medios geométricos positivos se deben interpolar por lo menos entre cada dos términos consecutivos de la progresión para que la suma de la segunda progresión sea mayor que 10?

19. En una progresión geométrica infinita a = 1 y r = x² − x − 1. ¿Para qué valores de x la progresión tiene una suma? ¿Qué valores puede tener la suma S entonces?