Ejercicios Resueltos de Álgebra: Rectas, Polinomios y Funciones

Ecuación de una Recta Paralela

Encuentre la ecuación de la recta paralela a la recta 2x - y + 4 = 0 y que pasa por el punto de intersección entre las rectas 2x - 3y - 7 = 0 y 2x + y - 11 = 0.

Paso 1: Calcular la pendiente

Para que una recta sea paralela a otra, deben tener la misma pendiente. Primero, despejamos y de la recta de referencia para encontrar su pendiente (m).

2x - y + 4 = 0
2x + 4 = y

La ecuación toma la forma y = mx + b, por lo que la pendiente es m = 2.

Paso 2: Encontrar el punto de intersección

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar el punto donde se cruzan las dos rectas:

1. 2x - 3y - 7 = 0
2. 2x + y - 11 = 0

Usaremos el método de eliminación. Multiplicamos la segunda ecuación por 3:

2x - 3y - 7 = 0
3 * (2x + y - 11 = 0) => 6x + 3y - 33 = 0

Sumamos ambas ecuaciones para eliminar y:

(2x - 3y - 7) + (6x + 3y - 33) = 0
8x - 40 = 0
8x = 40
x = 40 / 8
x = 5

Sustituimos x = 5 en la segunda ecuación original para encontrar y:

2(5) + y - 11 = 0
10 + y - 11 = 0
y - 1 = 0
y = 1

El punto de intersección es P(5, 1).

Paso 3: Determinar la ecuación de la recta final

Con la pendiente m = 2 y el punto P(5, 1), usamos la fórmula punto-pendiente (y - y₁) = m(x - x₁):

y - 1 = 2(x - 5)
y - 1 = 2x - 10
y = 2x - 10 + 1
y = 2x - 9

Expresada en su forma general, la ecuación de la recta es: 2x - y - 9 = 0.

Raíces de un Polinomio

Determine las raíces reales y complejas del siguiente polinomio:

x⁴ + 2x³ - 3x² - 8x - 4 = 0

Utilizamos la división sintética (Regla de Ruffini) para encontrar las raíces enteras.

Primera raíz

Probamos con el divisor -1:

  | 1   2   -3   -8   -4
-1|     -1   -1    4    4
--------------------------
  | 1   1   -4   -4    0

Como el residuo es 0, x = -1 es una raíz. El polinomio se reduce a x³ + x² - 4x - 4 = 0.

Segunda raíz

Probamos nuevamente con -1 sobre el polinomio resultante:

  | 1   1   -4   -4
-1|     -1    0    4
---------------------
  | 1   0   -4    0

El residuo es 0, por lo que x = -1 es una raíz doble. El polinomio se reduce a x² - 4 = 0.

Raíces restantes

Resolvemos la ecuación cuadrática restante:

x² - 4 = 0
x² = 4
x = ±√4

Esto nos da las dos últimas raíces: x = 2 y x = -2.

Conclusión

Las raíces del polinomio son:

• x₁ = -1 (raíz doble)
• x₂ = 2
• x₃ = -2

El polinomio factorizado es (x + 1)²(x - 2)(x + 2) = 0.

Dominio y Recorrido de una Función

Determine el dominio y el recorrido de la función F(x) = (x + 2) / (x + 3).

Cálculo del Dominio

El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero.

x + 3 ≠ 0
x ≠ -3

Por lo tanto, el dominio es: Dom(F) = ℝ - {-3}.

Cálculo del Recorrido

Para encontrar el recorrido (o rango), despejamos la variable x en función de y.

y = (x + 2) / (x + 3)
y(x + 3) = x + 2
yx + 3y = x + 2
yx - x = 2 - 3y
x(y - 1) = 2 - 3y
x = (2 - 3y) / (y - 1)

En esta nueva expresión, el denominador no puede ser cero.

y - 1 ≠ 0
y ≠ 1

Por lo tanto, el recorrido es: Rec(F) = ℝ - {1}.