Ejercicios Resueltos de Cálculo: Derivadas, Integrales y Funciones

Problema 1: Cálculo de parámetros y integral definida

Determinar los parámetros a y b para la función f(x) = ax2 + b ln(x), sabiendo que f'(1) = 0 y la integral definida ∫14 f(x) dx = 27 - 8 ln(4).

Función: f(x) = ax2 + b ln(x)

Derivada: f'(x) = 2ax + b/x

Usando la condición f'(1) = 0:

f'(1) = 2a(1) + b/1 = 2a + b
2a + b = 0 → b = -2a

Sustituyendo b en la función original:

f(x) = ax2 - 2a ln(x)

Usando la condición de la integral definida:

∫14 f(x) dx = ∫14 (ax2 - 2a ln(x)) dx = 27 - 8 ln(4)

Calculamos la integral indefinida de ln(x) por partes: ∫ ln(x) dx = x ln(x) - x.

∫ (ax2 - 2a ln(x)) dx = a ∫ x2 dx - 2a ∫ ln(x) dx = a(x3/3) - 2a(x ln(x) - x) + C

Evaluamos la integral definida:

[ax3/3 - 2a(x ln(x) - x)]14 =
= (a(4)3/3 - 2a(4 ln(4) - 4)) - (a(1)3/3 - 2a(1 ln(1) - 1))
= (64a/3 - 8a ln(4) + 8a) - (a/3 - 2a(0 - 1))
= (64a/3 - 8a ln(4) + 8a) - (a/3 + 2a)
= 64a/3 - 8a ln(4) + 8a - a/3 - 2a
= (64a/3 - a/3) + (8a - 2a) - 8a ln(4)
= 63a/3 + 6a - 8a ln(4)
= 21a + 6a - 8a ln(4) = 27a - 8a ln(4)

Igualamos al valor dado:

27a - 8a ln(4) = 27 - 8 ln(4)

Por comparación, se deduce que a = 1.

Calculamos b:

b = -2a = -2(1) = -2

Solución: a = 1, b = -2.

Problema 2: Continuidad y derivabilidad de una función por partes

Determinar a y b para que la siguiente función sea derivable en x = 1:

f(x) = egin{cases} 1 + a/(x-2) & \text{si } x < 1 \\ a + b/√x & \text{si } x ≥ 1 \end{cases}

Para ser derivable en x = 1, la función debe ser continua en x = 1 y las derivadas laterales deben ser iguales en x = 1.

Continuidad en x = 1

f(1) = a + b/√1 = a + b

limx→1- f(x) = limx→1- (1 + a/(x-2)) = 1 + a/(1-2) = 1 - a

limx→1+ f(x) = limx→1+ (a + b/√x) = a + b/√1 = a + b

Para continuidad: f(1) = limx→1- f(x) = limx→1+ f(x)

a + b = 1 - a → 2a + b = 1 (Ecuación 1)

Derivabilidad en x = 1

Calculamos las derivadas laterales:

f'(x) = egin{cases} -a/(x-2)2 & \text{si } x < 1 \\ -b/(2x√x) & \text{si } x > 1 \end{cases}

f'-(1) = limx→1- f'(x) = limx→1- (-a/(x-2)2) = -a/(1-2)2 = -a/(-1)2 = -a

f'+(1) = limx→1+ f'(x) = limx→1+ (-b/(2x√x)) = -b/(2(1)√1) = -b/2

Para derivabilidad: f'-(1) = f'+(1)

-a = -b/2 → b = 2a (Ecuación 2)

Resolución del sistema

Sustituimos la Ecuación 2 en la Ecuación 1:

2a + (2a) = 1
4a = 1 → a = 1/4

Sustituimos a en la Ecuación 2:

b = 2a = 2(1/4) = 1/2

Solución: a = 1/4, b = 1/2.

Problema 3: Cálculo de una primitiva

Encontrar la primitiva F(x) de la función f(x) = (1 - x2)e-x tal que F(-1) = 0.

f(x) = (1 - x2)e-x

F(x) = ∫ (1 - x2)e-x dx

Usamos integración por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du.

Primera integración por partes:

• u = 1 - x2 → du = -2x dx
• dv = e-x dx → v = ∫ e-x dx = -e-x

F(x) = (1 - x2)(-e-x) - ∫ (-e-x)(-2x dx)
F(x) = -(1 - x2)e-x - 2 ∫ x e-x dx

Llamamos I1 = ∫ x e-x dx y aplicamos integración por partes nuevamente.

Segunda integración por partes (para I₁):

• u = x → du = dx
• dv = e-x dx → v = -e-x

I1 = x(-e-x) - ∫ (-e-x) dx
I1 = -x e-x + ∫ e-x dx
I1 = -x e-x - e-x

Sustituimos I1 en la expresión de F(x):

F(x) = -(1 - x2)e-x - 2(-x e-x - e-x) + k
F(x) = (-1 + x2)e-x + 2x e-x + 2e-x + k
F(x) = e-x (-1 + x2 + 2x + 2) + k
F(x) = e-x (x2 + 2x + 1) + k
F(x) = e-x (x + 1)2 + k

Aplicamos la condición F(-1) = 0:

F(-1) = e-(-1) (-1 + 1)2 + k = 0
F(-1) = e1 (0)2 + k = 0
e · 0 + k = 0 → k = 0

Solución: La primitiva buscada es F(x) = e-x (x + 1)2.

Problema 4: Optimización de área de un triángulo

Encontrar las dimensiones de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia de radio 5 (hipotenusa = diámetro = 10) que tenga área máxima.

Sea x e y las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo. La hipotenusa es 10.

Por el teorema de Pitágoras: x2 + y2 = 102 = 100.

y = √(100 - x2) (Consideramos y > 0)

El área del triángulo es A = (1/2) * base * altura = (1/2) xy.

Expresamos el área en función de x:

A(x) = (1/2) x √(100 - x2), donde 0 < x < 10.

Para maximizar el área, calculamos la derivada A'(x) e igualamos a cero.

A'(x) = d/dx [ (1/2) x (100 - x2)1/2 ]
A'(x) = (1/2) * [1 * √(100 - x2) + x * (1/2) * (100 - x2)-1/2 * (-2x)]
A'(x) = (1/2) * [√(100 - x2) - x2 / √(100 - x2)]
A'(x) = (1/2) * [(100 - x2 - x2) / √(100 - x2)]
A'(x) = (100 - 2x2) / (2 √(100 - x2))
A'(x) = (50 - x2) / √(100 - x2)

Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos:

A'(x) = 0 → 50 - x2 = 0
x2 = 50 → x = √50 = 5√2 (Descartamos la raíz negativa ya que x es una longitud).

Calculamos y:

y = √(100 - x2) = √(100 - 50) = √50 = 5√2

Para confirmar que es un máximo, podemos usar el criterio de la segunda derivada o estudiar el signo de A'(x).

Signo de A'(x) = (50 - x2) / √(100 - x2):

• Si 0 < x < √50, 50 - x2 > 0, entonces A'(x) > 0 (Área creciente).
• Si √50 < x < 10, 50 - x2 < 0, entonces A'(x) < 0 (Área decreciente).

Hay un máximo relativo (y absoluto en el intervalo) en x = √50.

Solución: El área es máxima cuando los catetos miden x = √50 y y = √50. El triángulo es isósceles.

Nota: El cálculo de A''(√50) no se completó en el original, pero el análisis del signo de A'(x) es suficiente.

Problema 5: Área entre curvas

Calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x2/4 y g(x) = 2√x.

Funciones: f(x) = x2/4 (parábola), g(x) = 2√x (rama de parábola horizontal).

Encontramos los puntos de intersección igualando las funciones:

x2/4 = 2√x
x2 = 8√x

Elevamos al cuadrado (considerando x ≥ 0):

(x2)2 = (8√x)2
x4 = 64x
x4 - 64x = 0
x(x3 - 64) = 0

Soluciones: x = 0 o x3 = 64 → x = 4.

Los puntos de intersección son x = 0 y x = 4.

Evaluamos las funciones en un punto intermedio, por ejemplo x = 1:

f(1) = 12/4 = 1/4

g(1) = 2√1 = 2

Como g(1) > f(1), la función g(x) está por encima de f(x) en el intervalo (0, 4).

El área A se calcula mediante la integral definida:

A = ∫04 [g(x) - f(x)] dx
A = ∫04 [2√x - x2/4] dx
A = ∫04 [2x1/2 - (1/4)x2] dx

Calculamos la integral:

A = [2 * (x(1/2)+1) / ((1/2)+1) - (1/4) * (x3/3)]04
A = [2 * (x3/2) / (3/2) - x3/12]04
A = [(4/3) x3/2 - x3/12]04

Evaluamos en los límites:

A = [(4/3) (4)3/2 - (4)3/12] - [(4/3) (0)3/2 - (0)3/12]
A = [(4/3) * (√4)3 - 64/12] - [0]
A = [(4/3) * (2)3 - 16/3]
A = [(4/3) * 8 - 16/3]
A = [32/3 - 16/3]
A = 16/3

Solución: El área es 16/3 unidades2 (aproximadamente 5.33 unidades²).

Problema 6: Extremos absolutos y recta tangente

Dada la función f(x) = 1/x + ln(x):

a) Encontrar los extremos absolutos en el intervalo [1/e, e].

b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = e.

Función: f(x) = 1/x + ln(x), definida para x > 0.

Derivada: f'(x) = -1/x2 + 1/x

a) Extremos absolutos en [1/e, e]

Buscamos puntos críticos igualando la derivada a cero:

f'(x) = 0 → -1/x2 + 1/x = 0
1/x = 1/x2

Multiplicando por x2 (sabemos x ≠ 0):

x = 1

El único punto crítico en el dominio de la función es x = 1, que pertenece al intervalo [1/e, e].

Evaluamos la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo:

• f(1/e) = 1/(1/e) + ln(1/e) = e + (ln(1) - ln(e)) = e + (0 - 1) = e - 1 ≈ 1.718
• f(1) = 1/1 + ln(1) = 1 + 0 = 1
• f(e) = 1/e + ln(e) = 1/e + 1 ≈ 1/2.718 + 1 ≈ 0.368 + 1 = 1.368

Comparando los valores:

• El valor máximo es e - 1 y se alcanza en x = 1/e.
• El valor mínimo es 1 y se alcanza en x = 1.

Solución a): El máximo absoluto en [1/e, e] es e - 1 (en x = 1/e) y el mínimo absoluto es 1 (en x = 1).

b) Recta tangente en x = e

La ecuación de la recta tangente es y - f(e) = f'(e)(x - e).

Calculamos f(e) y f'(e):

• f(e) = 1/e + ln(e) = 1/e + 1
• f'(e) = -1/e2 + 1/e

Sustituimos en la ecuación de la recta tangente:

y - (1/e + 1) = (-1/e2 + 1/e) (x - e)

Solución b): La ecuación de la recta tangente en x = e es y - (1/e + 1) = (1/e - 1/e2) (x - e).

Problema 7: Estudio de una función racional

Estudiar la función f(x) = 2x2 / ((x+1)(x-2)), incluyendo asíntotas y monotonía.

Función: f(x) = 2x2 / (x2 - x - 2)

Dominio: El denominador se anula si (x+1)(x-2) = 0, es decir, x = -1 o x = 2. El dominio es ℝ - {-1, 2}.

Asíntotas

Verticales: Posibles asíntotas en x = -1 y x = 2.

• limx→-1+ 2x2 / ((x+1)(x-2)) = 2 / (0+)(-3) = 2 / 0- = -∞
• limx→-1- 2x2 / ((x+1)(x-2)) = 2 / (0-)(-3) = 2 / 0+ = +∞

Hay una asíntota vertical en x = -1.

• limx→2+ 2x2 / ((x+1)(x-2)) = 8 / (3)(0+) = 8 / 0+ = +∞
• limx→2- 2x2 / ((x+1)(x-2)) = 8 / (3)(0-) = 8 / 0- = -∞

Hay una asíntota vertical en x = 2.

Horizontales:

• limx→+∞ 2x2 / (x2 - x - 2) = limx→+∞ 2x2 / x2 = 2
• limx→-∞ 2x2 / (x2 - x - 2) = limx→-∞ 2x2 / x2 = 2

Hay una asíntota horizontal en y = 2.

Monotonía y Extremos

Calculamos la derivada f'(x) usando la regla del cociente:

f'(x) = [ (4x)(x2 - x - 2) - (2x2)(2x - 1) ] / (x2 - x - 2)2
f'(x) = [ 4x3 - 4x2 - 8x - (4x3 - 2x2) ] / (x2 - x - 2)2
f'(x) = [ 4x3 - 4x2 - 8x - 4x3 + 2x2 ] / (x2 - x - 2)2
f'(x) = (-2x2 - 8x) / (x2 - x - 2)2
f'(x) = -2x(x + 4) / ((x+1)(x-2))2

Igualamos f'(x) = 0 para encontrar puntos críticos:

-2x(x + 4) = 0 → x = 0 o x = -4.

Estudiamos el signo de f'(x) en los intervalos definidos por los puntos críticos y las asíntotas: (-∞, -4), (-4, -1), (-1, 0), (0, 2), (2, +∞). El denominador ((x+1)(x-2))2 es siempre positivo en el dominio.

• Intervalo (-∞, -4): Ej. x = -5. f'(-5) = -2(-5)(-5+4) / (+) = (10)(-1) / (+) = -. Decreciente.
• Intervalo (-4, -1): Ej. x = -2. f'(-2) = -2(-2)(-2+4) / (+) = (4)(2) / (+) = +. Creciente.
• Intervalo (-1, 0): Ej. x = -0.5. f'(-0.5) = -2(-0.5)(-0.5+4) / (+) = (1)(3.5) / (+) = +. Creciente.
• Intervalo (0, 2): Ej. x = 1. f'(1) = -2(1)(1+4) / (+) = (-2)(5) / (+) = -. Decreciente.
• Intervalo (2, +∞): Ej. x = 3. f'(3) = -2(3)(3+4) / (+) = (-6)(7) / (+) = -. Decreciente.

Extremos relativos:

• En x = -4, la función pasa de decreciente a creciente: Mínimo relativo en (-4, f(-4)).
  f(-4) = 2(-4)2 / ((-4)+1)((-4)-2) = 2(16) / (-3)(-6) = 32 / 18 = 16/9.
  Mínimo relativo en (-4, 16/9).
• En x = 0, la función pasa de creciente a decreciente: Máximo relativo en (0, f(0)).
  f(0) = 2(0)2 / ((0)+1)((0)-2) = 0 / (1)(-2) = 0.
  Máximo relativo en (0, 0).

Nota: El punto (-2, 2) mencionado en el original es un punto por donde pasa la gráfica, ya que f(-2) = 2(-2)² / ((-2)+1)((-2)-2) = 8 / ((-1)(-4)) = 8/4 = 2. Coincide con la asíntota horizontal, indicando que la gráfica cruza su asíntota horizontal en x=-2.