Ejercicios Resueltos de Derivadas: Cálculo y Aplicaciones

Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial

Ejercicio n.º 1: Cálculo de Derivadas por Reglas

A continuación, se presentan ejercicios de cálculo de derivadas utilizando las reglas de derivación.

a) Derivada de una función racional

Función: f(x) = 4x³ - 3/(x² - 1)

Aplicando la regla del cociente (d/dx(u/v) = (u'v - uv')/v²), donde u = 4x³ - 3 y v = x² - 1:

• u' = 12x²
• v' = 2x

Derivada: f'(x) = ((x² - 1)(12x²) - (4x³ - 3)(2x)) / (x² - 1)²

b) Derivada de una función exponencial

Función: f(x) = e^{7x2 - 3}

Aplicando la regla de la cadena (d/dx(e^u) = e^u * u'), donde u = 7x² - 3:

• u' = 14x

Derivada: f'(x) = 14x ⋅ e^{7x2 - 3}

c) Derivada de una función racional (simplificación)

Función: f(x) = 2x / (x² + 1)

Aplicando la regla del cociente (d/dx(u/v) = (u'v - uv')/v²), donde u = 2x y v = x² + 1:

• u' = 2
• v' = 2x

Cálculo de la derivada:

f'(x) = ((x² + 1)(2) - 2x(2x)) / (x² + 1)²

f'(x) = (2x² + 2 - 4x²) / (x² + 1)²

Derivada simplificada: f'(x) = (-2x² + 2) / (x² + 1)²

d) Derivada de una función con exponente fraccionario (raíz cuadrada)

Función: f(x) = (2x - 3x⁴)^1/2

Aplicando la regla de la cadena (d/dx(uⁿ) = n * u^n-1 * u'), donde u = 2x - 3x⁴ y n = 1/2:

• u' = 2 - 12x³

Cálculo de la derivada:

f'(x) = (1/2) * (2x - 3x⁴)^-1/2 * (2 - 12x³)

Derivada simplificada: f'(x) = (2 - 12x³) / (2 * (2x - 3x⁴)^1/2)

e) Derivada de un producto de funciones

Función: f(x) = (x² - 3x)e^x

Aplicando la regla del producto (d/dx(uv) = u'v + uv'), donde u = x² - 3x y v = e^x:

• u' = 2x - 3
• v' = e^x

Cálculo de la derivada:

f'(x) = (2x - 3)e^x + (x² - 3x)e^x

f'(x) = [(2x - 3) + (x² - 3x)]e^x

Derivada simplificada: f'(x) = (x² - x - 3)e^x

f) Derivada de una función racional (con corrección de cálculo)

Función: f(x) = (x² - 2x) / (x² + 1)

Aplicando la regla del cociente (d/dx(u/v) = (u'v - uv')/v²), donde u = x² - 2x y v = x² + 1:

• u' = 2x - 2
• v' = 2x

Cálculo de la derivada:

f'(x) = ((x² + 1)(2x - 2) - (x² - 2x)(2x)) / (x² + 1)²

f'(x) = (2x³ - 2x² + 2x - 2 - (2x³ - 4x²)) / (x² + 1)²

f'(x) = (2x³ - 2x² + 2x - 2 - 2x³ + 4x²) / (x² + 1)²

Derivada simplificada: f'(x) = (2x² + 2x - 2) / (x² + 1)²

Ejercicio n.º 2: Definición de Derivada en x=2

Función: f(x) = (2x + 1) / 5

Fórmula de la derivada por límites: f'(2) = lim_h→0 [f(2 + h) - f(2)] / h

Paso 1: Calcular f(2 + h)

f(2 + h) = (2(2 + h) + 1) / 5 = (4 + 2h + 1) / 5 = (5 + 2h) / 5

Paso 2: Calcular f(2)

f(2) = (2(2) + 1) / 5 = (4 + 1) / 5 = 5 / 5 = 1

Paso 3: Sustituir en la fórmula del límite

f'(2) = lim_h→0 [((5 + 2h) / 5) - 1] / h

Paso 4: Simplificar el numerador

((5 + 2h) / 5) - 1 = (5 + 2h - 5) / 5 = 2h / 5

Paso 5: Calcular el límite

f'(2) = lim_h→0 (2h / 5) / h = lim_h→0 2 / 5

Resultado: f'(2) = 2/5

Ejercicio n.º 3: Definición de Derivada en x=3

Función: f(x) = (5x - 1) / 2

Fórmula de la derivada por límites: f'(3) = lim_h→0 [f(3 + h) - f(3)] / h

Paso 1: Calcular f(3 + h)

f(3 + h) = (5(3 + h) - 1) / 2 = (15 + 5h - 1) / 2 = (14 + 5h) / 2

Paso 2: Calcular f(3)

f(3) = (5(3) - 1) / 2 = (15 - 1) / 2 = 14 / 2 = 7

Paso 3: Sustituir en la fórmula del límite

f'(3) = lim_h→0 [((14 + 5h) / 2) - 7] / h

Paso 4: Simplificar el numerador

((14 + 5h) / 2) - 7 = (14 + 5h - 14) / 2 = 5h / 2

Paso 5: Calcular el límite

f'(3) = lim_h→0 (5h / 2) / h = lim_h→0 5 / 2

Resultado: f'(3) = 5/2

Ejercicio n.º 4: Definición de Derivada en x=1

Función: f(x) = x² / 3

Fórmula de la derivada por límites: f'(1) = lim_h→0 [f(1 + h) - f(1)] / h

Paso 1: Calcular f(1 + h)

f(1 + h) = (1 + h)² / 3 = (1 + 2h + h²) / 3

Paso 2: Calcular f(1)

f(1) = 1² / 3 = 1/3

Paso 3: Sustituir en la fórmula del límite

f'(1) = lim_h→0 [((1 + 2h + h²) / 3) - 1/3] / h

Paso 4: Simplificar el numerador

((1 + 2h + h²) / 3) - 1/3 = (1 + 2h + h² - 1) / 3 = (2h + h²) / 3

Paso 5: Calcular el límite

f'(1) = lim_h→0 ((2h + h²) / 3) / h = lim_h→0 (h(2 + h)) / (3h)

f'(1) = lim_h→0 (2 + h) / 3

Resultado: f'(1) = 2/3

Ejercicio n.º 5: Ecuación de la Recta Tangente en x=1

Función: f(x) = 2x² + 3x - 1 (Punto de tangencia: (1, 4))

Paso 1: Verificar el punto de tangencia

f(1) = 2(1)² + 3(1) - 1 = 2 + 3 - 1 = 4 (El punto es correcto)

Paso 2: Calcular la derivada f'(x)

f'(x) = d/dx(2x² + 3x - 1) = 4x + 3

Paso 3: Calcular la pendiente (m) en x=1

m = f'(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3 = 7

Paso 4: Usar la ecuación punto-pendiente de la recta

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 4 = 7(x - 1)

y - 4 = 7x - 7

y = 7x - 7 + 4

Ecuación de la recta tangente: y = 7x - 3

Ejercicio n.º 6: Ecuación de la Recta Tangente en x=-1

Función: f(x) = 2x³ + x (Punto de tangencia: (-1, -3))

Paso 1: Verificar el punto de tangencia

f(-1) = 2(-1)³ + (-1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 (El punto es correcto)

Paso 2: Calcular la derivada f'(x)

f'(x) = d/dx(2x³ + x) = 6x² + 1

Paso 3: Calcular la pendiente (m) en x=-1

m = f'(-1) = 6(-1)² + 1 = 6(1) + 1 = 6 + 1 = 7

Paso 4: Usar la ecuación punto-pendiente de la recta

y - y₁ = m(x - x₁)

y - (-3) = 7(x - (-1))

y + 3 = 7(x + 1)

y + 3 = 7x + 7

y = 7x + 7 - 3

Ecuación de la recta tangente: y = 7x + 4

Ejercicio n.º 7: Recta Tangente con Pendiente Dada

Función: f(x) = x⁴ + 2 (Pendiente: m = -4)

Paso 1: Calcular la derivada f'(x)

f'(x) = d/dx(x⁴ + 2) = 4x³

Paso 2: Encontrar el valor de x donde la pendiente es -4

4x³ = -4

x³ = -4 / 4

x³ = -1

x = -1

Paso 3: Calcular el valor de y en x=-1 para obtener el punto de tangencia

f(-1) = (-1)⁴ + 2 = 1 + 2 = 3

Punto de tangencia: (-1, 3)

Paso 4: Usar la ecuación punto-pendiente de la recta

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 3 = -4(x - (-1))

y - 3 = -4(x + 1)

y - 3 = -4x - 4

y = -4x - 4 + 3

Ecuación de la recta tangente: y = -4x - 1

Ejercicio n.º 8: Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Función: f(x) = (x² - 3x) / 4

Paso 1: Calcular la derivada f'(x)

f'(x) = d/dx((x² - 3x) / 4) = (1/4) * d/dx(x² - 3x) = (1/4) * (2x - 3)

f'(x) = (2x - 3) / 4

Paso 2: Encontrar los puntos críticos (f'(x) = 0)

(2x - 3) / 4 = 0

2x - 3 = 0

2x = 3

x = 3/2

Paso 3: Analizar los intervalos de crecimiento/decrecimiento

• Intervalo (-∞, 3/2): Tomar un valor de prueba, por ejemplo, x = 0

f'(0) = (2(0) - 3) / 4 = -3/4 < 0

En este intervalo, la función decrece.

Intervalo (3/2, +∞): Tomar un valor de prueba, por ejemplo, x = 2

f'(2) = (2(2) - 3) / 4 = (4 - 3) / 4 = 1/4 > 0

En este intervalo, la función crece.

Ejercicio n.º 9: Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Función: f(x) = 14x - 7x²

Paso 1: Calcular la derivada f'(x)

f'(x) = d/dx(14x - 7x²) = 14 - 14x

Paso 2: Encontrar los puntos críticos (f'(x) = 0)

14 - 14x = 0

14 = 14x

x = 1

Paso 3: Analizar los intervalos de crecimiento/decrecimiento

• Intervalo (-∞, 1): Tomar un valor de prueba, por ejemplo, x = 0

f'(0) = 14 - 14(0) = 14 > 0

En este intervalo, la función crece.

Intervalo (1, +∞): Tomar un valor de prueba, por ejemplo, x = 2

f'(2) = 14 - 14(2) = 14 - 28 = -14 < 0

En este intervalo, la función decrece.