Ejercicios Resueltos de Dinámica y Cinemática: Aplicación de las Leyes de Newton

Sección I: Problemas de Dinámica y Cinemática

Problema 2: Cálculo de la Aceleración por Rozamiento

2. Un ciclista y su bicicleta tienen, en conjunto, una masa de 100 kg. Se encuentra en movimiento sobre una superficie horizontal y deja de pedalear con el fin de pararse. Calcula la aceleración que experimenta sabiendo que la fuerza de rozamiento de las ruedas con el suelo es de 80 N.

Resolución

La fuerza neta que actúa sobre el sistema es la fuerza de rozamiento ($F_r$), que se opone al movimiento. Aplicamos la Segunda Ley de Newton:

• Ecuación Fundamental: $\sum F = F_r = m \cdot a$

Sustituyendo los valores (la fuerza de rozamiento es negativa porque causa deceleración):

$$F_r = m \cdot a \Rightarrow -80 \text{ N} = 100 \text{ kg} \cdot a$$

$$a = \frac{-80 \text{ N}}{100 \text{ kg}} = -0,8 \text{ N/kg} = -0,8 \text{ m/s}^2$$

La aceleración experimentada es de $-0,8 \text{ m/s}^2$ (deceleración).

Problema 3: Dinámica del Ascensor

3. El cable de un ascensor ejerce una fuerza de 1000 N. Si la masa del ascensor es de 90 kg, determina: A) El valor de la aceleración y su sentido. B) La velocidad que adquirirá al cabo de 5 s si ha partido del reposo.

Resolución

La fuerza neta ($R$) es la diferencia entre la tensión ($T$) del cable y el peso ($p$) del ascensor. Aplicamos la Segunda Ley de Newton: $R = T - p = m \cdot a$.

A) Cálculo de la aceleración y su sentido

1. Cálculo del Peso ($p$):

   $$p = m \cdot g = 90 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 = 882 \text{ N}$$

2. Cálculo de la Fuerza Neta ($R$):

   $$R = T - p = 1000 \text{ N} - 882 \text{ N} = 118 \text{ N}$$

3. Cálculo de la Aceleración ($a$):

   $$118 \text{ N} = 90 \text{ kg} \cdot a \Rightarrow a = \frac{118 \text{ N}}{90 \text{ kg}} \approx 1,31 \text{ m/s}^2$$

   El valor de la aceleración es de $1,3 \text{ m/s}^2$. Dado que la tensión es mayor que el peso ($T > p$), el sentido de la aceleración es hacia arriba.

B) Cálculo de la velocidad final

Utilizamos la ecuación de la cinemática para movimiento uniformemente acelerado ($v = v_0 + a \cdot t$), sabiendo que parte del reposo ($v_0 = 0$).

$$v = 0 + 1,3 \text{ m/s}^2 \cdot t$$

Para $t = 5 \text{ s}$:

$$v = 1,3 \text{ m/s}^2 \cdot 5 \text{ s} = 6,5 \text{ m/s}$$

La velocidad adquirida al cabo de 5 segundos es de $6,5 \text{ m/s}$.

Problema 4: Frenado de un Automóvil (Tiempo Fijo)

4. Un automóvil de 1000 kg se mueve con una velocidad de 108 km/h. El conductor observa un obstáculo, de forma que debe pararse en 3 s. Determina: A) La aceleración necesaria para pararse. B) La fuerza de rozamiento de los frenos necesaria para conseguirla.

Resolución

A) Cálculo de la aceleración

Primero, convertimos la velocidad inicial a unidades del Sistema Internacional (SI):

$$v_0 = 108 \text{ km/h} = 30 \text{ m/s}$$

Utilizamos la ecuación cinemática ($v = v_0 + a \cdot t$), sabiendo que la velocidad final es $v = 0$:

$$0 = 30 \text{ m/s} + a \cdot 3 \text{ s}$$

$$a = \frac{-30 \text{ m/s}}{3 \text{ s}} = -10 \text{ m/s}^2$$

La aceleración necesaria es de $-10 \text{ m/s}^2$.

B) Cálculo de la fuerza de frenado

Aplicamos la Segunda Ley de Newton ($F_r = m \cdot a$):

$$F_r = 1000 \text{ kg} \cdot (-10 \text{ m/s}^2) = -10.000 \text{ N}$$

La fuerza de rozamiento necesaria es de $-10^4 \text{ N}$ (o $-10.000 \text{ N}$).

Problema 5: Frenado de un Autobús (Distancia Fija)

5. Un autobús de 10 t de masa circula por una autopista con una velocidad de 108 km/h. En un momento determinado, el conductor observa un accidente a 200 N. Determina: A) La aceleración necesaria para pararse. B) La fuerza de rozamiento de los frenos necesaria para conseguirla.

Nota del profesor: Se asume que la distancia al obstáculo es de 200 metros (m), ya que la unidad 'N' (Newton) corresponde a fuerza y no a distancia.

Resolución

A) Cálculo de la aceleración

Convertimos unidades:

• Masa: $m = 10 \text{ t} = 10.000 \text{ kg} = 10^4 \text{ kg}$
• Velocidad inicial: $v_0 = 108 \text{ km/h} = 30 \text{ m/s}$

Utilizamos la ecuación cinemática independiente del tiempo ($v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot x$), sabiendo que $v = 0$ y $x = 200 \text{ m}$:

$$0^2 - (30 \text{ m/s})^2 = 2 \cdot a \cdot 200 \text{ m}$$

$$-900 = 400 \cdot a$$

$$a = \frac{-900}{400} = -2,25 \text{ m/s}^2$$

La aceleración necesaria es de $-2,25 \text{ m/s}^2$.

B) Cálculo de la fuerza de frenado

Aplicamos la Segunda Ley de Newton ($F_r = m \cdot a$):

$$F_r = 10^4 \text{ kg} \cdot (-2,25 \text{ m/s}^2) = -22.500 \text{ N}$$

La fuerza de rozamiento necesaria es de $-22.500 \text{ N}$.

Problema 6: Masa y Peso en Diferentes Cuerpos Celestes

6. El peso de una persona en la Tierra es de 700 N. Determina su masa y su peso en la Luna.

Resolución

La relación fundamental entre el peso ($p$) y la masa ($m$) es $p = m \cdot g$. Por lo tanto, en la Tierra, $p_T = m \cdot g_T$.

A) Cálculo de la masa

Utilizamos la gravedad terrestre ($g_T = 9,8 \text{ m/s}^2$):

$$700 \text{ N} = m \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 \Rightarrow m = \frac{700 \text{ N}}{9,8 \text{ m/s}^2} \approx 71,43 \text{ kg}$$

La masa de la persona es de $71,4 \text{ kg}$. La masa es una propiedad intrínseca y no cambia de planeta.

B) Cálculo del peso en la Luna

En la Luna, el peso será $p_L = m \cdot g_L$. Sustituimos los valores conocidos, utilizando la gravedad lunar ($g_L = 1,6 \text{ m/s}^2$):

$$p_L = 71,4 \text{ kg} \cdot 1,6 \text{ m/s}^2 \approx 114,24 \text{ N}$$

El peso de la persona en la Luna es de $114,2 \text{ N}$.

Sección II: Fundamentos Teóricos

Tercera Ley de Newton: Principio de Acción y Reacción

La Tercera Ley de Newton, o Principio de Acción y Reacción, establece que:

Cuando un cuerpo aplica una fuerza (acción) sobre otro cuerpo, surge otra fuerza (reacción) de igual magnitud, paralela y de sentido contrario a la primera, que el segundo cuerpo ejerce sobre el primero. A estas fuerzas las denominamos acción y reacción.