Ejercicios Resueltos de Física: Refracción Óptica y Oscilaciones Armónicas

Problema 1: Refracción de Luz Monocromática

Considérese un haz de luz monocromática, cuya longitud de onda en el vacío es λ₀ = 600 nm. Este haz incide, desde el aire, sobre la pared plana de un vidrio de un acuario con un ángulo de incidencia de 30°.

Datos proporcionados:

• Longitud de onda en el vacío (λ₀): 600 nm
• Ángulo de incidencia (θ_incidencia): 30°
• Índice de refracción del vidrio (n_vidrio): 1,5
• Índice de refracción del agua (n_agua): 1,33
• Índice de refracción del aire (n_aire): 1

Se solicita determinar:

a) Ángulo de refracción en el vidrio

Para calcular el ángulo de refracción en el vidrio, aplicamos la Ley de Snell en la interfaz aire-vidrio:

n_aire · sen(θ_incidencia) = n_vidrio · sen(θ_{refracción_vidrio})

Sustituyendo los valores conocidos:

1 · sen(30°) = 1,5 · sen(θ_{refracción_vidrio})

1 · 0,5 = 1,5 · sen(θ_{refracción_vidrio})

0,5 = 1,5 · sen(θ_{refracción_vidrio})

sen(θ_{refracción_vidrio}) = 0,5 / 1,5 = 1/3 ≈ 0,333

θ_{refracción_vidrio} = arcsen(1/3)

Por lo tanto, el ángulo de refracción en el vidrio es aproximadamente 19,47°.

b) Longitud de onda del haz en el agua

La frecuencia de la luz (f) permanece constante cuando pasa de un medio a otro. La relación entre la longitud de onda en el vacío (λ₀) y la longitud de onda en un medio con índice de refracción n (λ_medio) es:

λ_medio = λ₀ / n_medio

En este caso, queremos encontrar la longitud de onda en el agua (λ_agua), utilizando el índice de refracción del agua (n_agua = 1,33):

λ_agua = λ₀ / n_agua

λ_agua = 600 nm / 1,33

λ_agua ≈ 451,13 nm

Así, la longitud de onda del haz de luz en el agua es aproximadamente 451,13 nm.

Problema 2: Oscilaciones de un Sistema Masa-Muelle

Se tiene una masa m = 1 kg situada sobre un plano horizontal sin rozamiento. Esta masa está unida a un muelle de masa despreciable, cuyo extremo opuesto está fijo a una pared. Para mantener estirado el muelle una elongación x = 3 cm (es decir, 0,03 m) respecto de su posición de equilibrio, se requiere aplicar una fuerza F = 6 N.

Si se deja el sistema masa-muelle en libertad, se pide:

a) ¿Cuál es el periodo de oscilación de la masa?

Cálculo de la constante elástica del muelle (k)

Utilizamos la Ley de Hooke, que establece que la fuerza ejercida por un muelle es proporcional a su elongación:

|F| = k · |x|

Despejamos la constante elástica k:

k = |F| / |x| = 6 N / (3 · 10^-2 m) = 6 N / 0,03 m = 200 N/m

Cálculo del periodo de oscilación (T)

El periodo de oscilación (T) de un sistema masa-muelle está dado por la fórmula:

T = 2π · √(m/k)

Sustituyendo los valores de la masa (m = 1 kg) y la constante elástica (k = 200 N/m):

T = 2π · √(1 kg / 200 N/m) = 2π · √(0,005) s ≈ 2π · 0,07071 s

T ≈ 0,444 s

El periodo de oscilación de la masa es aproximadamente 0,444 segundos.

b) Determine el trabajo realizado por el muelle desde la posición inicial (x = 3 cm) hasta su posición de equilibrio (x = 0)

El trabajo realizado por la fuerza elástica del muelle (W_muelle) al pasar de una posición inicial x_i a una posición final x_f es igual al negativo del cambio en la energía potencial elástica (ΔE_p):

W_muelle = -ΔE_p = -(E_{p final} - E_{p inicial})

La energía potencial elástica se calcula como E_p = (1/2)k x².

Posición inicial: x_i = 3 cm = 0,03 m

E_{p inicial} = (1/2) · 200 N/m · (0,03 m)² = (1/2) · 200 N/m · 0,0009 m² = 0,09 J

Posición final (equilibrio): x_f = 0 m

E_{p final} = (1/2) · 200 N/m · (0 m)² = 0 J

Por lo tanto, el trabajo realizado por el muelle es:

W_muelle = -(0 J - 0,09 J) = 0,09 J

c) ¿Cuál será el módulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm de su posición de equilibrio?

La amplitud del movimiento (A) es la elongación máxima inicial, que es A = 3 cm = 0,03 m.

La energía mecánica total (E_m) del sistema se conserva (ya que no hay rozamiento) y es igual a la energía potencial máxima en los extremos o la energía cinética máxima en la posición de equilibrio:

E_m = (1/2)k A² = (1/2) · 200 N/m · (0,03 m)² = 0,09 J

En cualquier punto de la trayectoria, la energía mecánica es la suma de la energía cinética (E_c = (1/2)m v²) y la energía potencial elástica (E_p = (1/2)k x²):

E_m = E_c + E_p

(1/2)k A² = (1/2)m v² + (1/2)k x²

Se nos pide la velocidad (v) cuando x = 1 cm = 0,01 m:

0,09 J = (1/2) · 1 kg · v² + (1/2) · 200 N/m · (0,01 m)²

0,09 J = 0,5 kg · v² + (1/2) · 200 N/m · 0,0001 m²

0,09 J = 0,5 kg · v² + 0,01 J

0,5 kg · v² = 0,09 J - 0,01 J = 0,08 J

v² = 0,08 J / 0,5 kg = 0,16 m²/s²

v = √0,16 m²/s² = 0,4 m/s

El módulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm de su posición de equilibrio será de 0,4 m/s.

d) Si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5 cm, ¿cuál sería su frecuencia de oscilación?

Como se vio en el apartado a), el periodo de oscilación T = 2π · √(m/k) depende únicamente de la masa del objeto (m) y de la constante elástica del muelle (k).

La frecuencia de oscilación (f) es el inverso del periodo: f = 1/T = (1/(2π)) · √(k/m).

Esto significa que ni el periodo ni la frecuencia de oscilación dependen de la amplitud inicial del estiramiento (elongación).

Por lo tanto, si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5 cm en lugar de 3 cm, la frecuencia de oscilación seguiría siendo la misma, ya que m y k no han cambiado.

La frecuencia es:

f = 1/T = 1 / 0,444 s ≈ 2,25 Hz

La frecuencia de oscilación sería aproximadamente 2,25 Hz, independientemente de la amplitud inicial (siempre que el muelle opere dentro de su límite elástico).