Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Puntos

Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Puntos

1. Dados los puntos A(2,-1), B(-3,4) y C(0,-8):

a) Distancia entre A y B

dist(A,B) = |ĀB| = √((-3-2)² + (4+1)²) = √((-5)² + 5²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2

b) Punto simétrico de B respecto de C

(x-3)/2 = 0 → x-3 = 0 → x = 3

(y+4)/2 = -8 → y+4 = -16 → y = -20

B'(3, -20)

2. Dados los vectores u(4,3) y v(k,2), determinar el valor de k para que:

a) Sean ortogonales

ū · v = 0 ↔ ū ⊥ v

4*k + 3*2 = 0 → 4k + 6 = 0 → 4k = -6 → k = -6/4 → k = -3/2

b) Sean paralelos

4/k = 3/2 → 8 = 3k → k = 8/3

c) Vector unitario ortogonal a ū

⊥ū = (3,-4) → |⊥ū| = √(3² + (-4)²) = √25 = 5

v = (1/5)(3,-4) = (3/5, -4/5) → |v| = √((3/5)² + (-4/5)²) = √(9/25 + 16/25) = 1

v = (3/5, -4/5)

d) Vector paralelo a ū con módulo 15

|ū| = √(4² + 3²) = 5

w = 3(4,3) = (12,9)

|w| = √(12² + 9²) = √225 = 15

3. Determina la posición relativa de las rectas 2x + 3y - 28 = 0 y {x = 5 + 3t, y = 6 - 2t}

2x + 3y - 28 = 0 → A = 2, B = 3, C = -28

{x = 5 + 3t, y = 6 - 2t} → {(x-5)/3 = t, (y-6)/-2 = t} → (x-5)/3 = (y-6)/-2 → -2x + 10 = 3y - 18 → -2x - 3y + 28 = 0 → A' = -2, B' = -3, C' = 28

2/(-2) = 3/(-3) = -28/28 → Las rectas son coincidentes.

4. Calcula:

a) Recta r que pasa por el punto P(1,-2) y es paralela a la recta cuya ecuación es 3x - y + 4 = 0

3x - y + 4 = 0 → A = 3, B = -1 → m = -(A/B) = -(3/(-1)) = 3

y = m(x - x₀) + y₀ → y = 3(x - 1) + (-2) → y = 3x - 3 - 2 = 3x - 5 → y = 3x - 5

Vector director: (B, -A) → (-1, -3)

Punto (x₀, y₀) → (1, -2)

Ecuación paramétrica: (x, y) = (1, -2) + λ(-1, -3) → {x = 1 - λ, y = -2 - 3λ}

b) Ángulo que forman las rectas {x = -1 + 3t, y = 4 - t} y {x = 2 + t, y = -1 + 2t}

r: {x = -1 + 3t, y = 4 - t} → r: (3, -1)

s: {x = 2 + t, y = -1 + 2t} → s: (1, 2)

cos(r, s) = (3*1 + (-1)*2) / (√(3² + (-1)²) * √(1² + 2²)) = 1 / (√10 * √5) = 1/√50 = √2/10

r, s = arccos(√2/10) ≈ 81º 52' 11.63''

c) Calcula las ecuaciones implícita y explícita de la recta que pasa por los puntos P(4,3) y Q(5,4)

PQ = (1, 1)

(x - 4)/1 = (y - 3)/1

Implícita: x - 4 = y - 3 → x - y - 1 = 0

Explícita: y = x - 1

5. Halla las coordenadas del punto simétrico de P(3,-4) respecto a la recta -3x + y + 2 = 0

-3x + y + 2 = 0 → n(-3, 1)

Recta perpendicular: (x - 3)/(-3) = (y + 4)/1 → x - 3 = -3(y + 4) → x - 3 = -3y - 12 → x + 3y + 9 = 0

Intersección de las rectas:

{x + 3y + 9 = 0, -3x + y + 2 = 0} → x = -3y - 9 = -3*(-29/10) - 9 → x = -3/10

-3(-3y - 9) + y + 2 = 0 → 9y + 27 + y + 2 = 0 → 10y + 29 = 0 → y = -29/10

Punto de intersección Q(-3/10, -29/10)

Cálculo del punto simétrico:

(x + 3)/2 = -3/10 → 10x + 30 = -6 → 10x = -36 → x = -36/10 = -18/5

(y - 4)/2 = -29/10 → 10y - 40 = -58 → 10y = -18 → y = -18/10 = -9/5

P'(-18/5, -9/5)

6. Halla el valor de k para que las rectas 2x - 3y + 4 = 0 y -3x + ky - 1 = 0 sean perpendiculares. Halla el punto de corte.

r: 2x - 3y + 4 = 0 → dr(-3, -2)

s: -3x + ky - 1 = 0 → ds(k, 3)

Para que sean perpendiculares: dr · ds = 0

dr · ds = -3k - 6 = 0 → k = -2

Con k = -2:

r: 2x - 3y + 4 = 0

s: -3x - 2y - 1 = 0

Punto de corte:

{2x - 3y + 4 = 0, -3x - 2y - 1 = 0} → {6x - 9y + 12 = 0, -6x - 4y - 2 = 0} (por reducción)

-13y + 10 = 0 → y = 10/13

2x - 3(10/13) + 4 = 0 → 2x - (30/13) + 4 = 0 → 2x = (30/13) - 4 → 2x = -22/13 → x = -11/13

Punto de corte: (-11/13, 10/13)