Ejercicios Resueltos de Geometría Vectorial y Rectas en el Plano

1. Operaciones Fundamentales con Vectores: Ortogonalidad, Unitarios y Módulo

a) Determinar el valor de b para que los vectores u(3,b) y v(2,-1) sean ortogonales.

Dos vectores u y v son ortogonales si su producto escalar es cero (u · v = 0).

Dado u = (3,b) y v = (2,-1):

u · v = (3)(2) + (b)(-1) = 0
6 - b = 0
b = 6

b) Calcular un vector unitario en la misma dirección que v.

El vector dado es v = (2,-1).

Primero, calculamos el módulo (magnitud) de v:

|v| = √(2² + (-1)²) = √(4 + 1) = √5

Un vector unitario w en la misma dirección que v se obtiene dividiendo v por su módulo:

w = (1/|v|) · v = (1/√5) · (2,-1) = (2/√5, -1/√5)

Para verificar que es unitario, calculamos su módulo:

|w| = √((2/√5)² + (-1/√5)²) = √((4/5) + (1/5)) = √(5/5) = √1 = 1. Por lo tanto, es unitario.

c) Calcular un vector ortogonal a v que tenga módulo 3.

El vector dado es v = (2,-1).

Un vector ortogonal a (a,b) es (-b,a) o (b,-a). Para v = (2,-1), un vector ortogonal es (1,2).

Sea v_⊥ = (1,2).

Calculamos el módulo de v_⊥:

|v_⊥| = √(1² + 2²) = √(1 + 4) = √5

Para obtener un vector w ortogonal a v con módulo 3, escalamos v_⊥ por el factor (3/|v_⊥|):

w = (3/√5) · (1,2) = (3/√5, 6/√5)

2. Bases Vectoriales y Combinaciones Lineales en el Plano

Dados los vectores a(1,3), b(2,6) y c(-1,1), debemos elegir dos de ellos que formen una base y expresar el vector d(2,-3) como combinación lineal de la base elegida.

Elección de la Base:

• Para que dos vectores formen una base en R², deben ser linealmente independientes (es decir, no ser paralelos o uno múltiplo del otro).
• Los vectores a(1,3) y b(2,6) no pueden formar una base, ya que b = 2a (son linealmente dependientes).
• Los vectores a(1,3) y c(-1,1) son linealmente independientes, ya que no son múltiplos escalares uno del otro (1/(-1) ≠ 3/1). Por lo tanto, a(1,3) y c(-1,1) forman una base.

Expresión de d como Combinación Lineal:

Queremos expresar d(2,-3) como una combinación lineal de a y c:

d = m · a + n · c

(2,-3) = m(1,3) + n(-1,1)

(2,-3) = (m, 3m) + (-n, n)

(2,-3) = (m - n, 3m + n)

Esto nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales:

{ 2 = m - n
{ -3 = 3m + n

Podemos resolver este sistema por el método de reducción (sumando ambas ecuaciones):

  2 =   m - n
+ -3 = 3m + n
----------------
 -1 = 4m

Despejando m:

m = -1/4

Ahora, sustituimos el valor de m en la primera ecuación (2 = m - n):

2 = -1/4 - n

2 + 1/4 = -n

8/4 + 1/4 = -n

9/4 = -n

n = -9/4

Por lo tanto, el vector d(2,-3) se expresa como la siguiente combinación lineal:

d(2,-3) = (-1/4)a(1,3) + (-9/4)c(-1,1)

3. Geometría de un Paralelogramo: Cálculo de Vértices

De un paralelogramo ABCD conocemos los vértices A(-1,3) y C(7,4), y M(1,2) es el punto medio del lado AB. Debemos calcular las coordenadas de los vértices B y D.

Cálculo del Vértice B:

Dado que M(1,2) es el punto medio de AB, podemos usar la fórmula del punto medio:

M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2)

(1,2) = ((-1 + x_B)/2, (3 + y_B)/2)

Esto nos da dos ecuaciones:

{ 1 = (-1 + xB)/2  →  2 = -1 + xB  →  xB = 3
{ 2 = (3 + yB)/2  →  4 = 3 + yB  →  yB = 1

Por lo tanto, el vértice B es (3,1).

Cálculo del Vértice D:

En un paralelogramo, los lados opuestos son paralelos. Esto significa que sus vectores directores son proporcionales.

Condición AD // BC:

Vector AD = D - A = (x - (-1), y - 3) = (x+1, y-3)

Vector BC = C - B = (7 - 3, 4 - 1) = (4,3)

Si AD // BC, entonces sus componentes son proporcionales:

(x+1)/4 = (y-3)/3

3(x+1) = 4(y-3)

3x + 3 = 4y - 12

3x - 4y = -15 (Ecuación 1)

Condición AB // DC:

Vector AB = B - A = (3 - (-1), 1 - 3) = (4,-2)

Vector DC = C - D = (7 - x, 4 - y)

Si AB // DC, entonces sus componentes son proporcionales:

4/(7-x) = -2/(4-y)

4(4-y) = -2(7-x)

16 - 4y = -14 + 2x

2x + 4y = 16 + 14

2x + 4y = 30 (Ecuación 2)

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la Ecuación 1 y la Ecuación 2:

{ 3x - 4y = -15
{ 2x + 4y = 30

Sumando ambas ecuaciones (método de reducción):

  3x - 4y = -15
+ 2x + 4y = 30
----------------
  5x      = 15

Despejando x:

x = 15/5

x = 3

Sustituimos x = 3 en la primera ecuación (3x - 4y = -15):

3(3) - 4y = -15

9 - 4y = -15

-4y = -15 - 9

-4y = -24

y = -24 / -4

y = 6

Por lo tanto, el vértice D es (3,6).

4. Rectas en el Plano: Paralelismo, Perpendicularidad y Distancia

Dadas las rectas r: 2x + (a+2)y + 5 = 0 y s: 3x - (a+1)y + 2 = 0.

a) Hallar el valor de a para que las rectas sean paralelas. Para ese valor de a, calcular la distancia entre r y s.

Dos rectas en su forma general Ax + By + C = 0 son paralelas si la proporción de sus coeficientes A y B es la misma (A/A' = B/B'), y no son coincidentes (B/B' ≠ C/C').

Para r: A₁=2, B₁=(a+2), C₁=5

Para s: A₂=3, B₂=-(a+1), C₂=2

Condición de paralelismo (A₁/A₂ = B₁/B₂):

2/3 = (a+2) / (-(a+1))

2 · (-(a+1)) = 3 · (a+2)

-2a - 2 = 3a + 6

-2 - 6 = 3a + 2a

-8 = 5a

a = -8/5

Verificación de no coincidencia (B₁/B₂ ≠ C₁/C₂):

Sustituimos a = -8/5 en B₁/B₂ y C₁/C₂:

B₁/B₂ = ((-8/5)+2) / (-((-8/5)+1)) = ((2/5)) / (-(-3/5)) = (2/5) / (3/5) = 2/3

C₁/C₂ = 5/2

Como 2/3 ≠ 5/2, las rectas son paralelas y no coincidentes para a = -8/5.

Cálculo de la distancia entre r y s para a = -8/5:

Primero, reescribimos las ecuaciones de las rectas con a = -8/5:

Recta r: 2x + ((-8/5)+2)y + 5 = 0 → 2x + (2/5)y + 5 = 0

Recta s: 3x - ((-8/5)+1)y + 2 = 0 → 3x - (-3/5)y + 2 = 0 → 3x + (3/5)y + 2 = 0

Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, elegimos un punto cualquiera en una de las rectas y calculamos la distancia de ese punto a la otra recta.

Elegimos un punto P en la recta r. Si hacemos x=0 en r:

2(0) + (2/5)y + 5 = 0

(2/5)y = -5

y = -25/2

Así, el punto P(0, -25/2) pertenece a la recta r.

La fórmula de la distancia de un punto P(x₀, y₀) a una recta Ax + By + C = 0 es:

dist(P, recta) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Aplicamos esta fórmula para el punto P(0, -25/2) y la recta s: 3x + (3/5)y + 2 = 0:

dist(P, s) = |3(0) + (3/5)(-25/2) + 2| / √(3² + (3/5)²)

dist(P, s) = |0 - 75/10 + 2| / √(9 + 9/25)

dist(P, s) = |-15/2 + 4/2| / √(225/25 + 9/25)

dist(P, s) = |-11/2| / √(234/25)

dist(P, s) = (11/2) / (√234 / √25)

dist(P, s) = (11/2) / (√234 / 5)

dist(P, s) = (11/2) · (5/√234)

dist(P, s) = 55 / (2√234) unidades

b) Hallar el valor de a para que las rectas sean perpendiculares.

Dos rectas en su forma general A₁x + B₁y + C₁ = 0 y A₂x + B₂y + C₂ = 0 son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es cero (A₁A₂ + B₁B₂ = 0).

Para r: A₁=2, B₁=(a+2)

Para s: A₂=3, B₂=-(a+1)

Aplicamos la condición de perpendicularidad:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

2 · 3 + (a+2) · (-(a+1)) = 0

6 - (a² + a + 2a + 2) = 0

6 - (a² + 3a + 2) = 0

6 - a² - 3a - 2 = 0

-a² - 3a + 4 = 0

Multiplicamos por -1 para facilitar la resolución:

a² + 3a - 4 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática (por factorización o fórmula general):

(a + 4)(a - 1) = 0

Esto nos da dos posibles valores para a:

a + 4 = 0 → a = -4

a - 1 = 0 → a = 1

Por lo tanto, las rectas r y s serán perpendiculares si a = -4 o si a = 1.