Ejercicios Resueltos de Inferencia Estadística: Aplicaciones Prácticas

1. Ayudas a Regiones de Bajos Ingresos en la Unión Europea

La Unión Europea ha puesto en marcha una línea de ayuda a regiones de bajos ingresos. Se considera que una región es de bajos ingresos cuando el ingreso medio por familia es inferior a 15.000 euros anuales. Las regiones cuyos ingresos familiares anuales son iguales o superiores a 15.000 euros no perciben la ayuda.

a) Probabilidad de que no se considere a la región de bajos ingresos:

P (X ≥ 15000) = P (Z ≥ (15000 - 15000) / (3800 ÷ √100)) = P (Z ≥ 0) = 0,5

b) Probabilidad de que el ingreso medio esté entre 14.000 y 16.000 euros:

P (14000 ≤ X ≤ 16000) = P ((14000 - 15000) / (3600 ÷ √100) ≤ Z ≤ (16000 - 15000) / (3600 ÷ √100)) = P (-2,78 ≤ Z ≤ 2,78) = 0,994

c) Valor que delimita la región de aceptación y de rechazo (Valor Crítico):

H₀: μ ≥ 15000 y H₁: μ < 15000

α = P(Rechazar H₀ / H₀ es cierta) = P (X ≤ Xc / μ = 15000) = P(Z ≤ (Xc - 15000) / (3800 ÷ √100)) = 0,05

(Xc - 15000) / (3800 ÷ √100) = -1,645

Xc = 14374,9

Como X = 14000 < 14374,9 → Se rechaza H₀ y se acepta H₁.

d) Según la evidencia muestral:

H₀: μ ≥ 15000 y H₁: μ < 15000

Z_ex = (14000 - 15000) / (3800 ÷ √100) = -2,63

Como Z_ex = -2,63 < -1,645 → Se rechaza H₀ y se acepta H₁.

e) Cálculo de la probabilidad:

α = P(Rechazar H₀ / H₀ es cierta) = P(X ≥ Xc / μ = 15000) = P(Z ≥ (15500 - 15000) / (3800 ÷ √100)) = P(Z ≥ 1,32) = 1 - P (Z ≤ 1,32) = 1- 0,9066 = 0,0934

2. Comparación de la Edad Media de Clientes en Dos Tiendas

Dos tiendas en dos poblaciones distintas (Casco Viejo y Ensanche) estudian la edad media de sus clientes. Tomada una muestra de 36 clientes para el Casco Viejo, se obtuvo una edad media de 40 años y una desviación típica de 9. Otra muestra para el Ensanche de 46 clientes dio una edad media de 35 años y una desviación típica de 10.

a) Compruebe para un 5% de significación si es menor la edad media de los clientes del Ensanche:

1º. H₀: μ_x - μ_y ≤ 0 y H₁: μ_x - μ_y > 0

Z_ex = (40 - 35) - (0) / √(81 ÷ 36 + 100 ÷ 46) = 2,41

Como Z_ex = 2,41 > 1,645 → Se rechaza H₀ y se acepta H₁.

2º. α = P(Rechazar H₀ / H₀ es cierta) = P(X - Y ≥ Xc - Yc / μ_x - μ_y = 0) = 0,05

(Xc - Yc) = ... → Se rechaza H₀ y se acepta H₁.

3º. P(Z ≥ (X_ex - Y_ex) / (μ_x - μ_y) = 0) = P(Z ≥ (40 - 35) - 0 / √(81 ÷ 36 + 100 ÷ 46)) = ... → Se rechaza H₀ y se acepta H₁.

3. Comparación de la Vida Media de Bombillas de Dos Marcas

La vida media de las bombillas de dos marcas diferentes (A y B) es de 3000 y 3200 horas, respectivamente. Se toman muestras aleatorias de tamaño 10 para cada marca, en las que la varianza es de 700 y 1000, respectivamente.

a) ¿Cuál es el valor medio y la desviación estándar de la media muestral para las bombillas de la marca A?

E(X) = E(∑x_i / 10) = (1/10) * E(∑x_i) = (1/10) * (x₁ + x₂ + ... + x₁₀) = (1/10) * 10 * 3000 = 3000

Var(X) = Var(∑x_i / 10) = (1/10)² * (Var(x₁) + Var(x₂) + ... + Var(x₁₀)) = (1/100) * 10 * σ² = σ² / 10

Desviación Estándar = σ / √10

Como σ² es desconocida, podemos hacer uso de S².

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en la vida media de ambas marcas en la muestra esté entre 300 y 500 horas?

P(300 ≤ X - Y ≤ 500) = (X - Y) - (3000 - 3200) / √(S_p² ÷ n_x + S_p² ÷ n_y) = τ₁₈

S_p² = ((n_x - 1) * S_x² + (n_y - 1) * S_y²) / (n_x + n_y - 2) = (9 * 700 + 9 * 1000) / (10 + 10 - 2) = 850

P((300 - (3000 - 3200)) / √(850 ÷ 10 + 850 ÷ 10) ≤ τ₁₈ ≤ (500 - (3000 - 3200)) / √(850 ÷ 10 + 850 ÷ 10)) = P(38,46 ≤ τ₁₈ ≤ 53,85) ≈ 0

d) En la muestra B, ¿cuál es la media y la varianza de la observación muestral 8?

P(X₈ > 3219,24) = P(Z > (3219,24 - 3200) / σ_y) = P(Z > 19,24 / σ_y) = 1 - P(Z < 19,24 / σ_y)

No se puede calcular porque no tenemos el valor de σ_y.

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza de varias muestras sean iguales?

P(S_x² / S_y² = 1) = (S_x² / S_y²) * (σ_x² / σ_y²) → F_{nx-1, ny-1}

P(F_9,9 = 1) = 0