Ejercicios Resueltos de Lógica Proposicional: Demostraciones Paso a Paso

Ejercicios de Lógica Proposicional

1º) ⊢ r

• 1. p → q
• 2. ¬s
• 3. x → (p ∨ ¬z)
• 4. ¬q ∨ r
• 5. z ∧ (x ∨ s)
• 6. x ∨ s (Simpl. 5)
• 7. x (S.D. 2 y 6)
• 8. p ∨ ¬z (M.P. 3 y 7)
• 9. z (Simpl. 5)
• 10. p (S.D. 8 y 9)
• 11. q (M.P. 1 y 10)
• 12. r (S.D. 4 y 11)

2º) ⊢ z

• 1. ¬q → ¬p
• 2. r → (t ∨ u)
• 3. s → ¬(t ∨ u)
• 4. q → r
• 5. ¬s → z
• 6. p
• 7. q (M.T. 1 y 6)
• 8. r (M.P. 4 y 7)
• 9. t ∨ u (M.P. 2 y 8)
• 10. ¬s (M.T. 3 y 9)
• 11. z (M.P. 5 y 10)

3º) ⊢ z

• 1. s → t
• 2. (r → t) → (y ∨ z)
• 3. (p → q) ∧ (r → s)
• 4. ¬z ∨ x
• 5. (p → q) → (y → w)
• 6. z → u
• 7. ¬s → ¬w
• 8. t → ¬(w ∨ u)
• 9. p → q (Simpl. 3)
• 10. r → s (Simpl. 3)
• 11. y → w (M.P. 5 y 9)
• 12. r → t (S.H. 1 y 10)
• 13. y ∨ z (M.P. 2 y 12)
• 14. w ∨ u (T.P. 6, 11 y 13)
• 15. ¬t (M.T. 8 y 14)
• 16. ¬s (M.T. 1 y 15)
• 17. ¬w (M.P. 16 y 7)
• 18. ¬y (M.T. 11 y 17)
• 19. z (S.D. 13 y 18)

4º) ⊢ s

• 1. p ∨ (q ∧ r)
• 2. p → s
• 3. ¬(q ∧ r)
• 4. p (S.D. 1 y 3)
• 5. s (M.P. 2 y 4)

5º) ⊢ ¬(y ∨ ¬z) ∨ p

• 1. ¬p → r
• 2. q ∨ ¬s
• 3. s ∨ t
• 4. u ∨ ¬q
• 5. t → ¬r
• 6. ¬u
• 7. p → ¬y
• 8. r ∨ z
• 9. ¬q (S.D. 4 y 6)
• 10. ¬s (S.D. 2 y 9)
• 11. t (S.D. 3 y 10)
• 12. ¬r (M.P. 5 y 11)
• 13. p (M.T. 1 y 12)
• 14. ¬y (M.P. 7 y 13)
• 15. z (S.D. 8 y 12)
• 16. ¬y ∧ z (Adj. 14 y 15)
• 17. ¬(y ∨ ¬z) (De Morgan 16)
• 18. ¬(y ∨ ¬z) ∨ p (Adic. 17)

6º) ⊢ s

• 1. p ∨ q
• 2. p → r
• 3. q → s
• 4. ¬r
• 5. ¬p (M.T. 2 y 4)
• 6. q (S.D. 1 y 5)
• 7. s (M.P. 3 y 6)

7º) ⊢ (q → s) ∧ ¬t

• 1. p ↔ q
• 2. p → r
• 3. r → s
• 4. s ∨ t
• 5. s ∨ u
• 6. ¬u
• 7. (p → q) ∧ (q → p) (E.B. 1)
• 8. q → p (Simpl. 7)
• 9. q → r (S.H. 2 y 8)
• 10. q → s (S.H. 3 y 9)
• 11. s (S.D. 5 y 6)
• 12. ¬t (S.D. 4 y 11)
• 13. (q → s) ∧ ¬t (Adj. 10 y 12)

8º) ⊢ z ∧ t

• 1. p ∨ q
• 2. p → r
• 3. q → s
• 4. ¬r
• 5. ¬p → t
• 6. ¬(s ∧ ¬z)
• 7. r ∨ s (T.P. 1, 2 y 3)
• 8. s (S.D. 4 y 7)
• 9. ¬p (M.T. 2 y 4)
• 10. t (M.P. 5 y 9)
• 11. ¬s ∨ z (De Morgan 6)
• 12. z (S.D. 8 y 11)
• 13. z ∧ t (Adj. 10 y 12)

9º) ⊢ (q ∨ s) ∧ z

• 1. p → q
• 2. r → s
• 3. ¬(¬p ∧ ¬r)
• 4. (q ∨ s) → z
• 5. p ∨ r (De Morgan 3)
• 6. q ∨ s (T.P. 1, 2 y 5)
• 7. z (M.P. 4 y 6)
• 8. (q ∨ s) ∧ z (Adj. 6 y 7)

10º) ⊢ (¬r ∧ s) ∨ t

• 1. ¬(p ∨ ¬q)
• 2. ¬p → ¬r
• 3. ¬q ∨ s
• 4. ¬p ∧ q (De Morgan 1)
• 5. ¬p (Simpl. 4)
• 6. ¬r (M.P. 2 y 5)
• 7. q (Simpl. 4)
• 8. s (S.D. 3 y 7)
• 9. ¬r ∧ s (Adj. 6 y 8)
• 10. (¬r ∧ s) ∨ t (Adic. 9)

11º) ⊢ (q ∨ u) ∧ z

• 1. p → q
• 2. r → s
• 3. t → u
• 4. ¬s
• 5. p ∨ t
• 6. ¬r → z
• 7. ¬r (M.T. 2 y 4)
• 8. z (M.P. 6 y 7)
• 9. q ∨ u (T.P. 1, 3 y 5)
• 10. (q ∨ u) ∧ z (Adj. 8 y 9)