Ejercicios Resueltos de Matemática Financiera: Anualidades e Interés Compuesto

Anualidad

Problema 1: Beca y Pago de Terreno

Fernando Morales se ha ganado una beca para estudiar un MBA en la Universidad de Barcelona. Dentro de sus obligaciones, él realiza un pago bimestral de $650.000 por un terreno en Quillota. El señor Morales le pide a su primo que le ayude a calcular:

1. ¿Cuál es el valor actual de la anualidad?
2. ¿Qué monto tendrá en 10 años y 6 meses, si dicho préstamo fue pactado al 16% anual convertible bimestralmente?

Fórmulas a Utilizar

• Valor Actual (A): A = R * [ (1 - (1 + i)^-n) / i ]
• Tasa de Interés por Periodo (i): i = j / m
• Número Total de Periodos (n): n = t * m
• Monto o Valor Futuro (S): S = R * [ ((1 + i)^n - 1) / i ]

Datos

• R (Renta o Pago Bimestral): $650.000
• j (Tasa Nominal Anual): 16% = 0,16
• m (Frecuencia de Conversión - Bimestres por año): 6
• t (Tiempo): 10 años y 6 meses = 10,5 años
• i (Tasa de Interés Bimestral): j / m = 0,16 / 6 ≈ 0,026666...
• n (Número Total de Pagos Bimestrales): t * m = 10,5 * 6 = 63

a) Cálculo del Valor Actual (A)

A = 650.000 * [ (1 - (1 + 0,026666...)^-63) / 0,026666... ]

A = 650.000 * [ (1 - (1,026666...)^-63) / 0,026666... ]

A = 650.000 * [ (1 - 0,19059942...) / 0,026666... ]

A = 650.000 * [ 0,80940058... / 0,026666... ]

A = 650.000 * 30,3525217...

A ≈ $19.729.139,11 (Nota: El valor original $19.734.072,66 podría deberse a redondeos intermedios o ligeras diferencias en la tasa periódica usada).

b) Cálculo del Monto (S)

S = R * [ ((1 + i)^n - 1) / i ]

S = 650.000 * [ ((1 + 0,026666...)^63 - 1) / 0,026666... ]

S = 650.000 * [ ((1,026666...)^63 - 1) / 0,026666... ]

S = 650.000 * [ (5,246593... - 1) / 0,026666... ]

S = 650.000 * [ 4,246593... / 0,026666... ]

S = 650.000 * 159,24724...

S ≈ $103.510.706,35 (Nota: El valor original $103.536.897,8 podría deberse a redondeos intermedios o ligeras diferencias en la tasa periódica usada).

Interés Compuesto

Problema 2: Inversión con Cambio de Tasa

Catalina Toro realizó una inversión de $2.850.000 en Banco Santander, por un plazo de seis años, con un interés del 12,6% anual capitalizable semestralmente. Después de dos años y 6 meses de inversión, por disposición legal, se eleva el tipo de interés en las inversiones a plazo fijo al 14% anual capitalizable trimestralmente. Se desea saber:

1. ¿Cuál ha sido el monto recibido al término de los seis años?
2. ¿Cuál hubiese sido el monto si no se hubiera producido la modificación indicada?

Fórmula a Utilizar

• Monto (M): M = C * (1 + i)^n

a) Cálculo del Monto Final con Modificación de Tasa

Paso 1: Calcular el monto acumulado durante los primeros 2 años y 6 meses

Datos para el primer período:

• C (Capital Inicial): $2.850.000
• j (Tasa Nominal Anual): 12,6% = 0,126
• m (Frecuencia de Capitalización - Semestres por año): 2
• t (Tiempo): 2 años y 6 meses = 2,5 años
• i (Tasa de Interés Semestral): j / m = 0,126 / 2 = 0,063
• n (Número de Semestres): t * m = 2,5 * 2 = 5 semestres

Cálculo del Monto Intermedio (M1):

M1 = C * (1 + i)^n

M1 = 2.850.000 * (1 + 0,063)^5

M1 = 2.850.000 * (1,063)^5

M1 = 2.850.000 * 1,35987...

M1 ≈ $3.875.630,65 (Este será el capital para el segundo período. Nota: El documento original calculaba un valor diferente en un paso intermedio, lo que afectaba el resultado final).

Paso 2: Calcular el monto final durante el tiempo restante (3 años y 6 meses)

Datos para el segundo período:

• C (Capital al inicio del segundo período): $3.875.630,65 (M1 calculado)
• j (Nueva Tasa Nominal Anual): 14% = 0,14
• m (Nueva Frecuencia de Capitalización - Trimestres por año): 4
• t (Tiempo Restante): 6 años - 2,5 años = 3,5 años
• i (Nueva Tasa de Interés Trimestral): j / m = 0,14 / 4 = 0,035
• n (Número de Trimestres Restantes): t * m = 3,5 * 4 = 14 trimestres

Cálculo del Monto Final (M_final):

M_final = M1 * (1 + i)^n

M_final = 3.875.630,65 * (1 + 0,035)^14

M_final = 3.875.630,65 * (1,035)^14

M_final = 3.875.630,65 * 1,6186945...

M_final ≈ $6.273.418,95

Respuesta a): El monto final recibido después de 6 años, con la modificación de la tasa, es de aproximadamente $6.273.418,95. (Nota: El resultado original de $7.075.263 se basaba en un cálculo intermedio diferente).

b) Cálculo del Monto Final sin Modificación de Tasa

Datos:

• C (Capital Inicial): $2.850.000
• j (Tasa Nominal Anual Original): 12,6% = 0,126
• m (Frecuencia de Capitalización Original - Semestres por año): 2
• t (Tiempo Total): 6 años
• i (Tasa de Interés Semestral Original): j / m = 0,126 / 2 = 0,063
• n (Número Total de Semestres): t * m = 6 * 2 = 12 semestres

Cálculo del Monto sin Modificación (M_sin_cambio):

M_sin_cambio = C * (1 + i)^n

M_sin_cambio = 2.850.000 * (1 + 0,063)^12

M_sin_cambio = 2.850.000 * (1,063)^12

M_sin_cambio = 2.850.000 * 2,081609...

M_sin_cambio ≈ $5.932.585,89

Respuesta b): El monto que se hubiese recibido si no hubiera habido modificación en la tasa de interés sería de aproximadamente $5.932.585,89.

Fórmulas Financieras Clave

Ratios de Liquidez

Miden la capacidad de una empresa para cumplir con sus obligaciones a corto plazo.

• Razón Corriente: Activo Corriente / Pasivo Corriente
  Indica cuántas veces el activo corriente cubre el pasivo corriente. Un valor > 1 sugiere capacidad para cubrir obligaciones a corto plazo. Si es = 1, cubre las deudas pero sin capital de trabajo sobrante. Si es < 1, puede tener dificultades. Ejemplo: Un ratio de 4 significa que el activo corriente es 4 veces mayor que el pasivo corriente, indicando buena liquidez y capital disponible para nuevas necesidades o proyectos.
• Razón Ácida (o Prueba Ácida): (Activo Corriente - Inventario) / Pasivo Corriente
  Similar a la razón corriente, pero excluye el inventario (que puede ser menos líquido). Proporciona una medida más conservadora de la liquidez inmediata.
• Capital de Trabajo Neto: Activo Corriente - Pasivo Corriente
  Representa los recursos disponibles para la operación diaria después de cubrir las deudas a corto plazo. Un valor positivo indica capacidad para pagar obligaciones corrientes y potencialmente invertir en nuevos proyectos.

Ratios de Endeudamiento

Miden el grado en que una empresa utiliza deuda para financiar sus activos y operaciones.

• Razón Deuda sobre Activo Total: (Pasivo Corriente + Pasivo No Corriente) / Activo Total
  Indica qué proporción de los activos totales está financiada por deuda.
• Razón Deuda sobre Patrimonio Total: (Pasivo Corriente + Pasivo No Corriente) / Patrimonio
  Compara la deuda total con el patrimonio de los accionistas. Si el valor es menor a 1, el patrimonio supera la deuda. Si es mayor a 1, indica las veces que la deuda total supera al patrimonio.

Fórmulas de Anualidades e Interés

• Valor Actual de Anualidad Vencida (A): A = R * [ (1 - (1 + i)^-n) / i ]
  Calcula el valor hoy de una serie de pagos futuros iguales (R).
• Monto (Valor Futuro) de Anualidad Vencida (S): S = R * [ ((1 + i)^n - 1) / i ]
  Calcula el valor futuro acumulado de una serie de pagos iguales (R).
• Interés Compuesto (Monto): M = C * (1 + i)^n
  Calcula el valor futuro (M) de un capital inicial (C) invertido a una tasa (i) durante (n) períodos, donde los intereses se reinvierten (capitalizan).
• Interés Simple (Monto): M = C * (1 + i * n)
  Calcula el valor futuro (M) de un capital inicial (C) donde los intereses se calculan siempre sobre el capital original.

Variables Comunes:

• A: Valor Actual o Presente
• S: Monto o Valor Futuro
• R: Renta, Pago periódico o Anualidad
• C: Capital Inicial o Principal
• M: Monto (en fórmulas de interés)
• j: Tasa de Interés Nominal Anual
• m: Número de períodos de capitalización por año (frecuencia de conversión)
• i: Tasa de Interés por período de capitalización (i = j / m)
• t: Tiempo total en años
• n: Número total de períodos o pagos (n = t * m)
• p: (Variable 'p' en fórmula original de Interés Compuesto no es estándar, usualmente 'n' ya incluye el tiempo y la frecuencia)