Ejercicios Resueltos de Matemáticas: Álgebra, Geometría y Cálculo

1. Problema de Porcentajes: Cálculo de Alumnos

En un colegio hay 1650 alumnos en total, y el 46% son mujeres. Se necesita determinar cuántos hombres y cuántas mujeres hay en el colegio.

Pasos para la resolución

1. Calcular el número de mujeres

   Para encontrar el número de mujeres, aplicamos la fórmula del porcentaje:

   Mujeres = (Porcentaje × Total de alumnos) / 100

   Mujeres = (46 × 1650) / 100 = 759

2. Calcular el número de hombres

   El número de hombres se obtiene restando el número de mujeres del total de alumnos:

   Hombres = Total de alumnos - Mujeres

   Hombres = 1650 - 759 = 891

Solución

• Mujeres: 759
• Hombres: 891

2. Desarrollo de un Binomio al Cuadrado

Resolver el binomio (7x - 6)² y luego sustituir el valor de x = -2 en el resultado.

Pasos para la resolución

1. Expandir el binomio

   Utilizamos la fórmula del cuadrado de una diferencia:

   (a - b)² = a² - 2ab + b²

   (7x - 6)² = (7x)² - 2(7x)(6) + 6²

   = 49x² - 84x + 36

2. Sustituir x = -2

   Sustituimos el valor de x en la expresión obtenida:

   49(-2)² - 84(-2) + 36

   = 49(4) + 168 + 36

   = 196 + 168 + 36 = 400

Solución

El valor del binomio cuando x = -2 es 400.

3. Cómo Encontrar la Ecuación General de una Recta

Una recta pasa por los puntos R(3, 8) y K(6, -4). El objetivo es encontrar su ecuación general.

Pasos para la resolución

1. Calcular la pendiente (m)

   La pendiente se calcula con la fórmula:

   m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

   m = (-4 - 8) / (6 - 3) = -12 / 3 = -4

2. Utilizar la ecuación punto-pendiente

   Usamos uno de los puntos (en este caso, R) y la pendiente en la fórmula:

   y - y₁ = m(x - x₁)

   y - 8 = -4(x - 3)

   y - 8 = -4x + 12

   y = -4x + 12 + 8

   y = -4x + 20

Solución

La ecuación de la recta es: y = -4x + 20

4. Raíces de una Ecuación Cuadrática por Fórmula General

Resolver la función cuadrática f(x) = 4x² + 12x - 40 utilizando la fórmula general para encontrar sus raíces.

Pasos para la resolución

1. Identificar los coeficientes

   En la ecuación ax² + bx + c = 0, los coeficientes son:

   • a = 4
   • b = 12
   • c = -40

2. Aplicar la fórmula general

   La fórmula para encontrar las raíces es:

   x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

3. Calcular el discriminante

   Primero, calculamos el valor dentro de la raíz cuadrada (el discriminante):

   b² - 4ac = (12)² - 4(4)(-40) = 144 + 640 = 784

4. Sustituir los valores en la fórmula

   x = [-12 ± √784] / (2 × 4)

   x = [-12 ± 28] / 8

5. Calcular las dos soluciones (raíces)

   x₁ = (-12 + 28) / 8 = 16 / 8 = 2

   x₂ = (-12 - 28) / 8 = -40 / 8 = -5

Solución

Las raíces de la ecuación son x₁ = 2 y x₂ = -5.

5. Ejercicios de Derivadas de Polinomios

Derivar las siguientes funciones polinómicas.

a) Derivada de y = 21x⁴ + 15x³ - 22x + 555

1. Derivada de 21x⁴ es 84x³
2. Derivada de 15x³ es 45x²
3. Derivada de -22x es -22
4. Derivada de la constante 555 es 0

Respuesta:

dy/dx = 84x³ + 45x² - 22

b) Derivada de y = 72x⁵ - 42x⁴ - 10

1. Derivada de 72x⁵ es 360x⁴
2. Derivada de -42x⁴ es -168x³
3. Derivada de la constante -10 es 0

Respuesta:

dy/dx = 360x⁴ - 168x³