Ejercicios Resueltos de Matemáticas Financieras: Rentas y Préstamos

Ejercicios Resueltos de Matemáticas Financieras

A continuación, se presentan una serie de ejercicios resueltos relacionados con el cálculo de rentas y préstamos, abordando diferentes escenarios financieros.

1. Cálculo del Valor Actual de una Renta Constante

Calcula el valor actual de una renta constante, inmediata y pospagable.

Fórmula: V₀ = a * [1 - (1 + i)^-n] / i

Donde:

• V₀ = Valor actual
• a = Cuota constante
• i = Tasa de interés
• n = Número de periodos

Ejemplo: a = 300, i = 0.03, n = 10

V₀ = 300 * [1 - (1 + 0.03)^-10] / 0.03 = 2559

2. Cálculo del Valor Final de un Préstamo

Una empresa ha solicitado un préstamo. Calcula el valor final del préstamo a los 7 años de la concesión.

Fórmula del valor actual: V₀ = a * [1 - (1 + i)^-n] / i

Ejemplo: a = 300, i = 0.0085, n = 60

V₀ = 300 * [1 - (1 + 0.0085)^-60] / 0.0085 = 14054.43

Fórmula del valor final: V_n = V₀ * (1 + i)^n+d

Ejemplo: V₀ = 14054.43, i = 0.0085, n = 84

V_n = 14054.43 * (1 + 0.0085)⁸⁴ = 28614.69

3. Adquisición de un Coche: Pago al Contado vs. Financiación

Calcula la diferencia entre pagar un coche hoy o financiarlo.

Tasa de interés mensual: i_m = j_m / m

Ejemplo: j_m = 0.03, m = 12, entonces i_m = 0.03 / 12 = 0.0025

Valor actual financiado (con descuento): V₀ = a * [1 - (1 + i)^-n] / i * (1 + i)^-6

Ejemplo: a = 450, i = 0.0025, n = 48

V₀ = 450 * [1 - (1 + 0.0025)^-48] / 0.0025 * (1 + 0.0025)^-6 = 20028.10

Valor actual sin descuento: V₀ = a * [1 - (1 + i)^-n] / i

Ejemplo: a = 450, i = 0.0025, n = 48

V₀ = 450 * [1 - (1 + 0.0025)^-48] / 0.0025 = 20330.41

4. Cálculo de la Percepción Mensual

El señor Blas, ¿qué cantidad percibirá mensualmente?

Tasa de interés mensual: i_m = (1 + 0.05)^1/12 - 1 = 0.0041

Cuota mensual: a = V_n / [(1 + i)ⁿ - 1] / i

Ejemplo: V_n = 235500, i = 0.0041, n = 360

a = 235500 / [(1 + 0.0041)³⁶⁰ - 1] / 0.0041 = 287.17

5. Comparación de Opciones de Negocio

Tenemos dos opciones de negocio:

A) Ingresos brutos, gastos e inversión inicial: 7000 - 3000 = 4000 + 8000 = 12000

V₀ = a * [1 - (1 + i)^-n] / i

Ejemplo: a = 12000, i = 0.00082, n = 60

V₀ = 12000 * [1 - (1 + 0.00082)^-60] / 0.00082 = 702294.06

B) Ingresos brutos, gastos e inversión inicial: 17000 - 14000 = 3000 + 6000 = 9000

V₀ = a * [1 - (1 + i)^-n] / i

Ejemplo: a = 9000, i = 0.00082, n = 60

V₀ = 9000 * [1 - (1 + 0.00082)^-60] / 0.00082 = 526720.55

Tasa de interés equivalente: i₁₂ = (1 + 0.01)^1/12 - 1 = 0.00082

6. Cálculo del Valor Final de una Inversión

La empresa Bionova S.L.

Tasa de interés mensual: i_m = (1 + 0.0025)^1/12 - 1 = 0.0020

Valor final: V_n = 4500 * [(1 + 0.0020)¹²⁰ - 1] / 0.0020 * (1 + 0.0020) = 610844.36

7. Adquisición de Vivienda: Cálculo de la Cuota Mensual

Nos disponemos a adquirir una vivienda. ¿Qué cantidad hay que ingresar cada mes?

Tasa de interés mensual: i_m = (1 + 0.012)^1/12 - 1 = 0.0009

Valor inicial: V_inicial = 180000 - 30000 = 150000

Cuota mensual: a = V₀ / [(1 + i)ⁿ - 1] / i

Ejemplo: V₀ = 150000, i = 0.0009, n = 240

a = 150000 / [(1 + 0.0009)²⁴⁰ - 1] / 0.0009 = 560.21

8. Plan de Pensiones

Contratamos un plan de pensiones.

A) Calcula el valor final.

B) Describe el tipo de renta.

Número de semestres: 3 * 2 = 6

A) Tasa de interés anual: i = (1 + 0.0166)¹² - 1 = 0.21

Tasa de interés semestral: i₂ = (1 + 0.21)^1/12 - 1 = 0.1

Tasa de interés mensual: i₁₂ = 0.02 / 12 = 0.0016

Valor actual: V₀ = 2500 * [1 - (1 + 0.1)^-6] / 0.1 = 10888.15

Valor final: V_n = 10888.15 * (1 + 0.21)⁽³⁺²⁾ = 28241.06

B) Es una renta pospagable, inmediata y anticipada.

9. Donación a una ONG

Una señora dona a una ONG. Calcula el importe actual que la ONG destinará con un 4.5% de efectivo anual.

A) V₀ = 150000 * (1 / 0.0045) = 33333333.33

B) V₀ = 14400 * (1 / 0.045) = 320000

C) 500000

Total: 4153333.33 * 0.30 = 1245999.99