Ejercicios Resueltos de Matemáticas: Potencias, Porcentajes, Álgebra y Geometría

1. Operaciones con Potencias

Resuelve las siguientes operaciones con potencias:

• Ejemplo 1: 7³ × 7² ÷ 7⁶ = 7^(3+2-6) = 7^-1
• Ejemplo 2: 3² × 3¹⁰ ÷ 3¹² = 3^(2+10-12) = 3⁰ = 1
• Ejemplo 3: m × m² × m³ ÷ m⁶ = m^(1+2+3-6) = m⁰ = 1
• Ejemplo 4: a² × a × a⁷ ÷ a¹⁰ = a^(2+1+7-10) = a⁰ = 1

2. Cálculo de Porcentajes

Calcula el porcentaje que se indica en cada caso:

• 5% de 430: (5 / 100) × 430 = 0.05 × 430 = 21.5
• 23% de 4120: (23 / 100) × 4120 = 0.23 × 4120 = 947.6
• 1.6% de 630: (1.6 / 100) × 630 = 0.016 × 630 = 10.08

3. Expresiones Algebraicas para Perímetro y Área

Escribe una expresión algebraica que permita calcular el perímetro (P) y el área (A) de las siguientes figuras:

Rectángulo

• Largo: 2m + 3
• Ancho: 5m² + m - 10
• Perímetro (P): 2 × (5m² + m - 10) + 2 × (2m + 3)
• Área (A): (5m² + m - 10) × (2m + 3)

Cuadrado

• Lado: 5x² + 7
• Perímetro (P): 4 × (5x² + 7)
• Área (A): (5x² + 7) × (5x² + 7) = (5x² + 7)²

4. Cálculo de Porcentaje de Descuento

Se compraron ciertos productos de belleza, cuyo costo total es de $1200. Nos hacen un descuento de $300. ¿Qué porcentaje de descuento nos hicieron?

Cálculo:

Si $1200 representa el 100%, ¿qué porcentaje representan $300?

x = (100% × $300) / $1200

x = 30000 / 1200

x = 25%

Respuesta: Nos hicieron un 25% de descuento.

5. Cálculo de Porcentaje Representado

$40, ¿qué porcentaje representa de $840?

Cálculo:

Si $840 representa el 100%, ¿qué porcentaje representan $40?

x = (100% × $40) / $840

x = 4000 / 840

x ≈ 4.76%

Respuesta: $40 representa aproximadamente el 4.76% de $840.

6. Comparación de Volúmenes

De las siguientes figuras, ¿cuántas veces cabe el volumen de la figura menor en la figura mayor?

• Figura grande (Prisma 1): Dimensiones 10m, 6m, 4m
• Figura pequeña (Prisma 2): Dimensiones 3m, 2m, 5m (unidades asumidas como metros)

Cálculo de volúmenes:

• Volumen figura grande (V₁): 10m × 6m × 4m = 240 m³
• Volumen figura pequeña (V₂): 3m × 2m × 5m = 30 m³

Comparación:

Número de veces = V₁ / V₂ = 240 m³ / 30 m³ = 8

Respuesta: El volumen de la figura menor cabe 8 veces en la figura mayor.

7. Ángulo Interior de un Octágono Regular

Calcular el valor de cada ángulo interior de un octágono regular (polígono de 8 lados).

Fórmula de la suma de ángulos interiores (S): S = 180° × (n - 2), donde n es el número de lados.

Cálculo de la suma:

S = 180° × (8 - 2) = 180° × 6 = 1080°

Cálculo de cada ángulo interior (A_i): A_i = S / n

A_i = 1080° / 8 = 135°

Respuesta: Cada ángulo interior de un octágono regular mide 135°.

8. Ángulo Interior de un Pentágono Regular

Calcular el valor de cada ángulo interior de un pentágono regular (polígono de 5 lados).

Fórmula de la suma de ángulos interiores (S): S = 180° × (n - 2)

Cálculo de la suma:

S = 180° × (5 - 2) = 180° × 3 = 540°

Cálculo de cada ángulo interior (A_i): A_i = S / n

A_i = 540° / 5 = 108°

Respuesta: Cada ángulo interior de un pentágono regular mide 108°.

9. Ángulo Interior de un Icoságono Regular

Calcular el valor de cada ángulo interior de un icoságono regular (polígono de 20 lados).

Fórmula de la suma de ángulos interiores (S): S = 180° × (n - 2)

Cálculo de la suma:

S = 180° × (20 - 2) = 180° × 18 = 3240°

Cálculo de cada ángulo interior (A_i): A_i = S / n

A_i = 3240° / 20 = 162°

Respuesta: Cada ángulo interior de un icoságono regular mide 162°.

10. Cálculo de Volumen y Conversión a Litros

Calcular el volumen de la siguiente figura (prisma rectangular) y realizar conversiones a litros.

Dimensiones de la figura: 10m, 4m, 3m

Cálculo del volumen (V):

V = Largo × Ancho × Alto

V = 10m × 4m × 3m = 120 m³

Conversión a litros (1 m³ = 1000 litros):

V (litros) = 120 × 1000 = 120,000 litros

Ejemplos adicionales de conversión:

• 1.2 m³ = 1.2 × 1000 = 1200 litros
• 85,000 litros = 85,000 / 1000 = 85 m³

11. Término de una Sucesión Aritmética (1)

En la siguiente sucesión aritmética, ¿qué término ocupa el lugar 30?

Sucesión: 3, 11, 19, 27, ...

Datos:

• Primer término (a₁): 3
• Diferencia común (d): 11 - 3 = 8
• Posición del término (n): 30

Fórmula del término n-ésimo (a_n): a_n = a₁ + (n - 1) × d

Cálculo:

a₃₀ = 3 + (30 - 1) × 8

a₃₀ = 3 + (29) × 8

a₃₀ = 3 + 232

a₃₀ = 235

Respuesta: El término que ocupa el lugar 30 es 235.

12. Término de una Sucesión Aritmética (2)

¿Qué término de la sucesión ocupa el lugar 60?

Sucesión: 11, 21, 31, 41, ...

Datos:

• Primer término (a₁): 11
• Diferencia común (d): 21 - 11 = 10
• Posición del término (n): 60

Fórmula del término n-ésimo (a_n): a_n = a₁ + (n - 1) × d

Cálculo:

a₆₀ = 11 + (60 - 1) × 10

a₆₀ = 11 + (59) × 10

a₆₀ = 11 + 590

a₆₀ = 601

Respuesta: El término que ocupa el lugar 60 es 601.

13. Resolución de Ecuaciones de Primer Grado

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

Ecuación 1

21m + 3 = 6m + 2

Pasos:

1. Agrupar términos con 'm' en un lado y constantes en el otro:
   21m - 6m = 2 - 3
2. Simplificar:
   15m = -1
3. Despejar 'm':
   m = -1 / 15

Solución: m = -1/15

Ecuación 2

(7x + 3) / 9 - 2 = 6x + 5

Pasos:

1. Para quitar el denominador, multiplicar toda la ecuación por 9:
   9 × [ (7x + 3) / 9 - 2 ] = 9 × (6x + 5)
2. Distribuir el 9:
   (7x + 3) - 9 × 2 = 9 × 6x + 9 × 5
3. Simplificar:
   7x + 3 - 18 = 54x + 45
4. Combinar constantes en el lado izquierdo:
   7x - 15 = 54x + 45
5. Agrupar términos con 'x' en un lado y constantes en el otro:
   7x - 54x = 45 + 15
6. Simplificar:
   -47x = 60
7. Despejar 'x':
   x = 60 / -47

Solución: x = -60/47