Ejercicios Resueltos de Optimización, Cálculo y Estadística para Bachillerato

EJERCICIO 1: Programación Lineal

Sea R la región factible definida por las siguientes inecuaciones:

• $x \geq y$
• $3 \leq x$
• $x \leq 5$
• $y \geq 1$

1. (0.5 puntos) Razone si el punto $(4.5, 1.55)$ pertenece a R.
2. (1.5 puntos) Dada la función objetivo $F(x, y) = 2x - y$, calcule sus valores extremos en R.
3. (0.5 puntos) Razone si hay algún punto de R donde la función $F$ valga $3.5$. ¿Y $7.5$?

EJERCICIO 2: Funciones y Límites (Modelado Empresarial)

En una empresa de montajes, el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados ($t$) según la función:

$$M(t) = \frac{17t + 11}{t + 12}, \quad \text{donde } t \geq 1$$

donde $t$ es el número de días trabajados.

1. (0.5 puntos) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios?
2. (0.75 puntos) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente? (Cálculo del límite)
3. (0.75 puntos) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia. (Estudio de la derivada)
4. (0.5 puntos) Dibuje la gráfica de la función.

EJERCICIO 3: Probabilidad Condicional e Independencia

Se realiza una encuesta a estudiantes de bachillerato sobre sus preferencias de baile. Los resultados obtenidos son:

• Al 40% les gusta la salsa ($P(S) = 0.40$).
• Al 30% les gusta el merengue ($P(M) = 0.30$).
• Al 10% les gusta tanto la salsa como el merengue ($P(S \cap M) = 0.10$).

1. (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que a un estudiante le guste el merengue si le gusta la salsa? ($P(M|S)$)
2. (0.75 puntos) ¿Y la de que a un estudiante le guste el merengue si no le gusta la salsa? ($P(M|S^c)$)
3. (1 punto) ¿Son independientes los sucesos “gustar la salsa” y “gustar el merengue”? ¿Son compatibles?

EJERCICIO 4: Contraste de Hipótesis (Estadística Inferencial)

(2.5 puntos) En una bodega se utiliza una máquina para envasar vino en botellas con un contenido esperado de 750 ml (media poblacional $\mu_0$).

Para comprobar si la máquina funciona correctamente, se toma una muestra de $n=36$ botellas, observándose que el contenido medio muestral es de $\bar{x} = 748$ ml.

Suponiendo que la variable “contenido” sigue una distribución Normal con varianza $\sigma^2 = 25$ (y por lo tanto, desviación típica $\sigma = 5$), se pide:

Contraste de Hipótesis Bilateral

Analice mediante un contraste de hipótesis bilateral ($H_0: \mu = 750$) si se puede aceptar, con un nivel de significación de $\alpha = 0.05$, que la máquina envasadora funciona correctamente.