Ejercicios Resueltos de Probabilidad, Estadística y Cálculo

Cálculo de Probabilidades en Créditos

Se presenta un problema de probabilidad relacionado con créditos. La fórmula general para la probabilidad condicional es: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B).

Apartado A: Cálculo de P(P)

P(P) = (0,35 · 0,8) + (0,5 · 0,85) + (0,15 · 0,3) = 0,75

Apartado B: Cálculo de P(i|P)

Aplicando la fórmula de probabilidad condicional:

P(i|P) = 0,15 · 0,50 / 0,25 = 0,3

Probabilidad en una Población de Habitantes

Se analizan diferentes escenarios de probabilidad para una población, donde el 38% de los habitantes tiene una característica específica.

Apartado A

Cálculo de una probabilidad compuesta: 0,38 · 0,38 · 0,38 = 0,054

Apartado B

Cálculo de una probabilidad con permutaciones o combinaciones específicas:

(0,38 · 0,38 · 0,21) + (0,21 · 0,38 · 0,38) + (0,38 · 0,21 · 0,38) = 0,09

Apartado C

Valor de una probabilidad o proporción: 0,41

Determinación de Probabilidades de Eventos

Se presentan cálculos para determinar la probabilidad de un evento B, dadas otras probabilidades de eventos A y B.

Apartado A: Cálculo de P(B) con Independencia Asumida

Dados: P(A U B) = 5/8 y P(A) = 1/4.

Se utiliza la fórmula de la unión de eventos: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Si se asume que A y B son eventos independientes, entonces P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Sustituyendo los valores:

5/8 = 1/4 + P(B) - (1/4 · P(B))

0,625 = 0,25 + P(B) - 0,25 · P(B)

0,625 - 0,25 = P(B) - 0,25 · P(B)

0,375 = 0,75 · P(B)

P(B) = 0,375 / 0,75 = 0,5

Apartado B: Cálculos Adicionales de Probabilidad

Se presentan otros cálculos de probabilidad, posiblemente de un contexto diferente o como pasos intermedios:

• P(A U B) = 0,5 + 0,5 - 0,25 = 0,75 (Esto implica P(A)=0.5, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.25)
• P(A|B) = 0,3 (Probabilidad condicional dada)
• P(A ∩ B) = 1 - 0,75 = 0,25 (Si 0.75 es P(A U B), entonces P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A U B) = 0.5 + 0.5 - 0.75 = 0.25. La expresión original P(A∩B)=P(AUB)=1-P(AUB) es confusa y parece un error de transcripción. Se interpreta como el cálculo de P(A ∩ B) a partir de P(A U B) = 0.75, asumiendo P(A)=0.5 y P(B)=0.5).

Estadística: Examen Tipo Test y Aproximación Normal

Se modela un examen tipo test utilizando una distribución binomial y se aproxima a una distribución normal para calcular probabilidades.

Parámetros de la Distribución

• Distribución Binomial: B(n=60; p=0,8)
• Aproximación a la Distribución Normal:
  • Media (μ) = n · p = 60 · 0,8 = 48
  • Varianza (σ²) = n · p · (1-p) = 60 · 0,8 · 0,2 = 9,6
  • Desviación Estándar (σ) = √9,6 ≈ 3,098

Por lo tanto, la distribución normal aproximada es N(48; 3,098).

Cálculo de P(x ≥ 50)

Aplicando la corrección por continuidad para la aproximación de una distribución discreta a una continua:

P(x ≥ 50) = P(y > 49,5)

Estandarizando a la distribución normal estándar Z:

Z = (y - μ) / σ = (49,5 - 48) / 3,098 = 1,5 / 3,098 ≈ 0,484

Así, P(Z > 0,484).

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar (Z ~ N(0,1)):

P(Z > 0,484) = 1 - F(0,484)

Si usamos un valor aproximado de F(0,48) ≈ 0,6844 (valor de tabla):

1 - 0,6844 = 0,3156

Nota: Los valores de F(0,34) y F(0,5) en el texto original no corresponden a este cálculo.

Estadística: Producción de Panadería y Distribución Normal

Se analiza la producción de una panadería, modelada por una distribución normal, y la suma de producciones diarias.

Parámetros de la Distribución

La producción diaria sigue una distribución normal: N(μ=40; σ=5).

Apartado A: Probabilidad de Producción Superior a 43

Se desea calcular P(x > 43).

Estandarizando a la distribución normal estándar Z:

Z = (x - μ) / σ = (43 - 40) / 5 = 3 / 5 = 0,6

Así, P(Z > 0,6).

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar (Z ~ N(0,1)):

P(Z > 0,6) = 1 - F(0,6) = 1 - 0,7257 = 0,2743

Esto equivale a un 27,43%.

Apartado B: Probabilidad de la Suma de 20 Producciones Diarias

Si se suman 20 producciones diarias independientes (X₁ + ... + X₂₀), la suma sigue una distribución normal:

• Media (μ_suma) = n · μ = 20 · 40 = 800
• Desviación Estándar (σ_suma) = √n · σ = √20 · 5 ≈ 4,4721 · 5 ≈ 22,3606

Por lo tanto, la suma sigue N(800; 22,3606).

Se desea calcular P(X₁ + ... + X₂₀ > 820).

Estandarizando a la distribución normal estándar Z:

Z = (y - μ_suma) / σ_suma = (820 - 800) / 22,3606 = 20 / 22,3606 ≈ 0,8944

Así, P(Z > 0,8944).

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar (Z ~ N(0,1)):

P(Z > 0,8944) = 1 - F(0,89) = 1 - 0,8133 = 0,1867

Estadística: Peso de Usuarios de un Gimnasio y Probabilidad de la Media Muestral

Se analiza el peso de los usuarios de un gimnasio, modelado por una distribución normal, y se calcula la probabilidad de que la media muestral caiga dentro de un rango específico.

Parámetros de la Distribución de la Media Muestral

La media muestral (X̄) sigue una distribución normal con:

• Media (μ) = 60
• Desviación Estándar de la Media (Error Estándar) = σ/√n = 5,4 / √100 = 5,4 / 10 = 0,54

Por lo tanto, X̄ ~ N(60; 0,54).

Cálculo de P(58,5 < X̄ < 61,5)

Estandarizando los límites a la distribución normal estándar Z:

• Límite inferior: Z₁ = (58,5 - 60) / 0,54 = -1,5 / 0,54 ≈ -2,778
• Límite superior: Z₂ = (61,5 - 60) / 0,54 = 1,5 / 0,54 ≈ 2,778

Así, se desea calcular P(-2,778 < Z < 2,778).

Utilizando la propiedad de simetría de la distribución normal estándar:

P(-2,778 < Z < 2,778) = F(2,778) - F(-2,778) = 2 · F(2,778) - 1

Si F(2,77) ≈ 0,9972 (valor de tabla):

2 · 0,9972 - 1 = 1,9944 - 1 = 0,9944

Estadística: Estimación de Proporción de Fumadores y Tamaño de Muestra

Se busca estimar la proporción de fumadores en una población y determinar el tamaño de muestra necesario para un nivel de confianza y margen de error dados.

Cálculo del Tamaño de Muestra (n)

Se utiliza la fórmula para el margen de error (E) en la estimación de una proporción:

E = Z_α/2 · √(p̂(1-p̂)/n)

Donde:

• Z_α/2 = 1,96 (para un nivel de confianza del 95%, común para este valor)
• p̂ = 0,2 (proporción estimada, si no se conoce, se usa 0.5 para el tamaño de muestra máximo, pero aquí se da 0.2)
• 1-p̂ = 0,8
• E = 0,03 (margen de error deseado)

Sustituyendo los valores en la desigualdad para el margen de error:

1,96 · √(0,2 · 0,8 / n) < 0,03

1,96 · √(0,16 / n) < 0,03

1,96 · 0,4 / √n < 0,03

0,784 / √n < 0,03

Despejando √n:

√n > 0,784 / 0,03

√n > 26,1333...

Elevando al cuadrado ambos lados para encontrar n:

n > (26,1333...)²

n > 682,95

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, se redondea al siguiente entero superior:

n = 683

Cálculo Diferencial e Integral: Funciones y Área

Se definen dos funciones, se determinan sus parámetros y se calcula el área entre ellas.

Apartado A: Determinación de Parámetros de las Funciones

Dadas las funciones f(x) = x² + ax + b y g(x) = -x² + c.

Cálculo de 'a' y 'b' para f(x)

Se sabe que f(-2) = -3 y f(1) = 0.

Sustituyendo los valores en f(x):

• Para f(-2): (-2)² + a(-2) + b = -3 => 4 - 2a + b = -3 => -2a + b = -7
• Para f(1): 1² + a(1) + b = 0 => 1 + a + b = 0 => a + b = -1

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

-2a + b = -7  a + b = -1

Restando la segunda ecuación de la primera: (-2a - a) + (b - b) = -7 - (-1) => -3a = -6 => a = 2

Sustituyendo a = 2 en la segunda ecuación: 2 + b = -1 => b = -3

Por lo tanto, la función es f(x) = x² + 2x - 3.

Cálculo de 'c' para g(x)

Se sabe que g(1) = 0.

Sustituyendo el valor en g(x):

-1² + c = 0 => -1 + c = 0 => c = 1

Por lo tanto, la función es g(x) = -x² + 1.

Nota: Las expresiones originales g´(-2)=-(-2)2+1=-4+1=-3 y g´(1)=-12+c=0 ; c=1 parecen referirse a la evaluación de la función g(x) en esos puntos, no a su derivada.

Apartado B: Cálculo del Área entre las Funciones

Se calcula el área (A) encerrada entre las funciones f(x) = x² + 2x - 3 y g(x) = -x² + 1 en el intervalo [1, 2].

Primero, determinamos qué función está por encima de la otra en el intervalo. Evaluando en x=2:

• f(2) = 2² + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5
• g(2) = -(2²) + 1 = -4 + 1 = -3

Dado que f(2) > g(2), f(x) está por encima de g(x) en el intervalo [1, 2].

El área se calcula mediante la integral definida:

A = ∫₁² [f(x) - g(x)] dx

A = ∫₁² [(x² + 2x - 3) - (-x² + 1)] dx

A = ∫₁² [x² + 2x - 3 + x² - 1] dx

A = ∫₁² [2x² + 2x - 4] dx

Calculando la antiderivada:

F(x) = [2x³/3 + x² - 4x]

Evaluando en los límites de integración:

• F(2) = 2(2)³/3 + (2)² - 4(2) = 16/3 + 4 - 8 = 16/3 - 4 = (16 - 12)/3 = 4/3
• F(1) = 2(1)³/3 + (1)² - 4(1) = 2/3 + 1 - 4 = 2/3 - 3 = (2 - 9)/3 = -7/3

A = F(2) - F(1) = 4/3 - (-7/3) = 4/3 + 7/3 = 11/3

El área es de 11/3 unidades cuadradas.

Nota: El cálculo original en el documento, que resultaba en 9 m², parece haber utilizado una antiderivada y/o límites de evaluación diferentes.

Probabilidad Condicional: Censo en una Comunidad

Se presentan cálculos de probabilidad condicional, posiblemente relacionados con un censo realizado en una comunidad.

Apartado A: Probabilidades Condicionales Observadas

Se listan varias probabilidades condicionales, donde 'L' podría ser una característica y 'AS' otra:

• P(L|AS) = 0,5 (posiblemente un valor inicial o de referencia)
• P(L|AS) = 0,25 (otro valor o escenario)
• P(L|AS) = 0,4 (otro valor o escenario)

Nota: La notación "→ 0,4", "→ 0,25", "→ 0,65" en el texto original es ambigua y se ha interpretado como valores alternativos o resultados de diferentes condiciones para P(L|AS).

Apartado B: Aplicación del Teorema de Bayes

Se calcula la probabilidad condicional P(S|i) utilizando el Teorema de Bayes:

P(S|i) = [P(i|S) · P(S)] / P(i)

Sustituyendo los valores proporcionados:

P(S|i) = (0,35 · 0,4) / 0,49

P(S|i) = 0,14 / 0,49

P(S|i) ≈ 0,286

Probabilidad: Unión de Sucesos Independientes

Se calcula la probabilidad de la unión de dos sucesos A y B, asumiendo que son independientes.

Cálculo de P(A U B)

Dados los sucesos A y B, con P(A) = 1/5 y P(B) = 1/2.

La fórmula general para la unión de dos sucesos es: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Si los sucesos A y B son independientes, entonces P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Sustituyendo los valores:

P(A U B) = 1/5 + 1/2 - (1/5 · 1/2)

P(A U B) = 0,2 + 0,5 - (0,2 · 0,5)

P(A U B) = 0,7 - 0,1

P(A U B) = 0,6

Probabilidad en el Consumo de Clientes

Se analiza el comportamiento de compra de clientes en relación con la adquisición de pan y bollos.

Cálculo de Probabilidades de Compra

Se sabe que el 60% de los clientes compra pan, lo que se puede expresar como P(Pan) = 0,6.

También se proporciona la probabilidad de que un cliente compre tanto pan como bollos: P(Pan ∩ Bollo) = 0,3.

Una de las ecuaciones presentadas es:

0,7 = 0,6 + P(Bollo) - P(Bollo ∩ Pan)

Esta ecuación se corresponde con la fórmula de la unión de eventos: P(Pan U Bollo) = P(Pan) + P(Bollo) - P(Pan ∩ Bollo).

De la ecuación dada, se deduce que P(Pan U Bollo) = 0,7.

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula de la unión:

0,7 = 0,6 + P(Bollo) - 0,3

0,7 = 0,3 + P(Bollo)

Despejando P(Bollo):

P(Bollo) = 0,7 - 0,3 = 0,4

Nota: La primera expresión original P(Boll∩Pan)=P(Boll)-P(Boll∩Pan) es matemáticamente incorrecta y no se ha incluido en la interpretación del problema.